Question

Докажи, что последовательность возрастает: an=13n/n+1.
ответ:
1. отметь соотношение, верное для возрастающей последовательности:
a1>a2>a3>...>an>an+1>...
a1<a2<a3<...<an<an+1<...
an=C

2. Запиши, чему равны следующие члены заданной последовательности после преобразования:

2.1. an=−n+;

2.2. an+1= . -/ n+ .

3. Заданная последовательность возрастает, так как (выбери один знак):

an   an+1.

​

Answer 1

1. Ответ: a1 < a2 < a3 < ... < an < an+1 < ...

Для доказательства, что последовательность an=13n/(n+1) возрастает, мы должны показать, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего.

2. Запишем следующие члены последовательности после преобразования:

2.1. an+1 = 13(n+1)/((n+1)+1) = 13(n+1)/(n+2)

2.2. Переформулируем выражение для an+1:
an+1 = 13(n+1)/(n+2)

3. Теперь докажем, что заданная последовательность возрастает, сравнивая каждый член с последующим:

an < an+1

Подставим значения из пункта 2.1 и 2.2 в неравенство:

13n/(n+1) < 13(n+1)/(n+2)

Умножим обе части неравенства на (n+1)(n+2):

13n(n+2) < 13(n+1)(n+1)

Раскроем скобки:

13n^2 + 26n < 13n^2 + 26n + 13

Вычтем 13n^2 + 26n из обеих частей:

0 < 13

Так как 0 меньше 13, то утверждение верно. Таким образом, последовательность an=13n/(n+1) возрастает.