Question

Решите уравнение используя свойства функций. √(2х+1)+√(х-3)=4+log1/2 (x-3)

Answer 1

$\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=4+\log_{\tfrac{1}{2}}\big(x-3\big)\iff \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}+\log_{2}(x-3)=4$

Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}+\log_{2}(x-3)$ на её области определения $D_{f}=\big(3;+\infty\big)$

График этой функции пересечёт линию $y=4$ более одного раза только если будут существовать промежутки разной монотонности (на каких-то функция возрастает, на других - убывает).

Обязательным условием смены монотонности функции является обращение её производной в ноль (или несуществование производной) в точке, где монотонность меняется. Попробуем их найти.

$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-3}}+\dfrac{1}{(x-3)\ln 2} 0~\big(\forall x\in D_{f}\big)$

Как видно из вида производной, для всех точек области определения функции, она не обращается в ноль (более того, функция строго возрастает).

Таким образом, наше уравнение не может иметь более одного корня.

Методом пристального взгляда замечаем, что $x=4$ - корень уравнения.

Действительно, $f(4)=\sqrt{9}+\sqrt{1}+\log_{2}(4-3)=3+1+0=4$

ответ. $x=4$