10 (км/час) - скорость катера в стоячей воде
Объяснение:
х - скорость катера в стоячей воде
х+2 - скорость катера по течению
х-2 - скорость катера против течения
Сейчас определимся со временем:
вышел в 13.00, вернулся в 19.30, был в пути 6,5 часов.
Но 2 часа 45 минут он ждал, это 2 и 45/60=2,75 часа.
Значит, в пути катер находился 6,5-2,75=3,75 часа, уравнение:
18/(х+2) - время по течению
18/(х-2) - время против течения
18/(х+2)+18/(х-2)=3,75 Избавляемся от дробного выражения, общий знаменатель (х+2)(х-2) или х²-4, надписываем над числителями дополнительные множители:
18(х-2)+18(х+2)=3,75(х²-4)
18х-36+18х+36=3,75х²-15
-3,75х²+36х+15=0
3,75х²-36х-15=0/3,75
х²-9,6х-4=0
х₁,₂=(9,6±√92,16+16)/2
х₁,₂=(9,6±√108,16)/2
х₁,₂=(9,6±10,4)/2
х₁= -0,4 отбрасываем, как отрицательный
х₂= 10 (км/час) - скорость катера в стоячей воде
Проверка:
18 : 12=1,5 (часа) - время по течению
18 : 8=2,25 (часа) - время против течения
1,5+2,25+2,75 (остановка)=6,5 (часа) в пути, всё верно.
Симплекс метод - это метод последовательного перехода от одного базисного решения (вершины многогранника решений) системы ограничений задачи линейного программирования к другому базисному решению до тех пор, пока функция цели не примет оптимального значения (максимума или минимума).
Симплекс-метод является универсальным методом, которым можно решить любую задачу линейного программирования, в то время, как графический метод пригоден лишь для системы ограничений с двумя переменными.
Перед тем, как перейти к алгоритму симплекс метода, несколько определений.
Всякое неотрицательное решение системы ограничений называется допустимым решением.
Пусть имеется система m ограничений с n переменными (m < n).
Допустимым базисным решением является решение, содержащее m неотрицательных основных (базисных) переменных и n - m неосновных. (небазисных, или свободных) переменных. Неосновные переменные в базисном решении равны нулю, основные же переменные, как правило, отличны от нуля, то есть являются положительными числами.
Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными называются основными, если определитель из коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные n - m переменных называются неосновными (или свободными).
Алгоритм симплекс метода
Шаг 1. Привести задачу линейного программирования к канонической форме. Для этого перенести свободные члены в правые части (если среди этих свободных членов окажутся отрицательные, то соответствующее уравнение или неравенство умножить на - 1) и в каждое ограничение ввести дополнительные переменные (со знаком "плюс", если в исходном неравенстве знак "меньше или равно", и со знаком "минус", если "больше или равно").
Шаг 2. Если в полученной системе m уравнений, то m переменных принять за основные, выразить основные переменные через неосновные и найти соответствующее базисное решение. Если найденное базисное решение окажется допустимым, перейти к допустимому базисному решению.
Шаг 3. Выразить функцию цели через неосновные переменные допустимого базисного решения. Если отыскивается максимум (минимум) линейной формы и в её выражении нет неосновных переменных с отрицательными (положительными) коэффициентами, то критерий оптимальности выполнен и полученное базисное решение является оптимальным - решение окончено. Если при нахождении максимума (минимума) линейной формы в её выражении имеется одна или несколько неосновных переменных с отрицательными (положительными) коэффициентами, перейти к новому базисному решению.
Шаг 4. Из неосновных переменных, входящих в линейную форму с отрицательными (положительными) коэффициентами, выбирают ту, которой соответствует наибольший (по модулю) коэффициент, и переводят её в основные. Переход к шагу 2.
Важные условия
Если допустимое базисное решение даёт оптимум линейной формы (критерий оптимальности выполнен), а в выражении линейной формы через неосновные переменные отсутствует хотя бы одна из них, то полученное оптимальное решение - не единственное.
Если в выражении линейной формы имеется неосновная переменная с отрицательным коэффициентом в случае её максимизации (с положительным - в случае минимизации), а во все уравнения системы ограничений этого шага указанная переменная входит также с отрицательными коэффициентами или отсутствует, то линейная форма не ограничена при данной системе ограничений. В этом случае её максимальное (минимальное) значение записывают в виде .
На сайте есть Онлайн калькулятор решения задач линейного программирования симплекс-методом.