Question

А)решите уравнение 3^корень из(2cos2x-8cosx+1)=9 б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-3пи,-пи/2]

Answer 1

3^sqrt(2cos2x-8cosx+1)=9 = 3^2

sqrt(2cos2x-8cosx+1) = 2

ОДЗ:  2cos2x-8cosx+1>=0

2*(2cos^2(x) -1) - 8cosx + 1 >=0

4cos^2(x) - 8cos(x) -1>=0, Замена: cos(X)=t, -1<=t<=1

4t^2-8t-1>=0, D=64+4*4=64+16=80, t1=(8-sqrt80)/8, t2= (8+sqrt80)/8

 t<=(8-sqrt80)/8 или t>= (8+sqrt80)/8. Общее решение с учетом замены:

-1<=t<=1-sqrt5/2 - ОДЗ

 2cos2x-8cosx+1 = 4 (возвели обе части в квадрат)

 4cos^2(x) - 8cos(x) - 5=0

4t^2 -8t -5=0, D=64+4*4*5=144

t1=-1/2 - удовл.ОДЗ, t2=20/8=2.5 - не удовл.ОДЗ

Возвращаемся к замене и решаем уравнение:

cos(x) = -1/2

x=2pi/3 + 2pi*k

x=4pi/3 +  2pi*

Корни, лежащие в промежутке [-3пи,-пи/2] (или в градусах [-540; -90])

k=-1, x=2pi/3-2pi=-4pi/3=-240; x=4pi/3-2pi=-2pi/3=-120

k=-2, x=2pi/3-4pi=-10pi/3=-600 - не лежит; x=4pi/3-4pi=-8pi/3=-480

ответ: -8pi/3, -4pi/3, -2pi/3

Answer 2

Корень из 2cos2x-8cosx+1= 2 2( 2 косинус квадрат -1) - 8 косин х+1=4 
пусть косинус =Т 
4Т квадрат- 8 Т-5=0 
Т1= -1/2 
Т2= 2,5- не удовлетворяет условию Т по модулю меньше или = 1 
тогда косинусХ= -1/2 
Х= + -3пи/2+ 2ПИ эн