Question

Найдите градусную меру острого угла между медианой AD и стороной АС A(0;4) B(3;5), C(1;3)

Answer 1

α = 60°

Объяснение:

Соединим точки по заданным координатам, получим треугольник.

Так как AD - медиана, что точка D делит сторону BC пополам.

Из рисунка найдем координаты точки D(2,4)

Пусть угол между медианой и стороной AC - α, тогда запишем данные стороны через векторы.

Вектора AD = a, а вектор AC = b;

 $a = \left[\begin{array}{ccc}2\\0\\0\end{array}\right]; b = \left[\begin{array}{ccc}1\\-1\\0\end{array}\right]$

Воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:

a·b = |a|·|b|·cos(α)

$ab = x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b}$

Объединив данные формулу, выразим cos(α):

$cos(\alpha) = \frac{x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} }{ab}$

Для угла формула примет следующий вид:

$\alpha = arccos(\frac{x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} }{ab}))$

Подставив значения в формулу, получим, что α = 60°