y=11+6√x-2x√x D(f)=x∈(0:+∞)
2x√x=2*x¹*x¹/₂=2*x³/²
6√x=6*x¹/²
f(x)=-2*x³/²+6*x¹/²+11
(2*x³/²)`=3*x¹/²=3√x
(6*x¹/²)`=3/x¹/²=3/√x
(11)`=0
f`(x)=-3√x+3/√x
Приравниваем производную к нулю:
-3√x+3/√x=0
-3√x*√х+3=0
-3х+3=0
-3х=-3
х=1 - критическая точка.
Чтобы узнать, достигает ли функция максимума в точке экстремума х=1, нужно определить знаки производной методом интервалов (рисунок во вложении):
f`(1)=0
f`(0.25)=-3√0.25+3/√0.25=4.5>0 - функция возрастает на отрезке (0;1)
f`(4)=-3√4+3/√4=-4.5<0 - функция убывает на отрезке (1;+∞)
При переходе через точку х=1 производная меняет знак с "+" на "-", значит х=1 - точка максимума функции.
a)
cos2x = cos^2(x)-sin^2(x) = (1-sin^2(x)) - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x)
3(1-sinx) - 1- cos2x =0 ==> 3 - 3sinx - 1- (1 - 2sin^2(x) = 0 ==> 3 - 3sinx - 2 + 2sin^2(x) = 0
2sin^2(x) - 3sinx +1 = 0
обозначим y=sinx тогда получим квадратное уравнение
2y^2 - 3y +1 = 0 корни которого y1=1 и y2=1/2
y1=1 ==> sinx =1 ==> x1=pi/2
y2=1/2 ==> sinx =1/2 ==> 1) x2=pi/6
2) x3=pi-pi/6 =5pi/6
x1+x2+x3=pi/2+pi/6+5pi/6=3*pi/2
b)
sin2x = 2sinx*cosx 1=cos^2 x + sin^2 x
3sin2x+ 8cos^2 x - 1 =0 ==> 3(2sinx*cosx) + 8cos^2 x -(cos^2 x + sin^2 x)=0 ==>
6sinx*cosx + 7cos^2 x - sin^2 x =0 раздедим на (-cos^2 x) получим
-6tgx - 7 + tg^2 x =0 ==> tg^2 x - 6tgx - 7=0
обозначим y=tgx тогда получим квадратное уравнение
y^2 - 6y - 7=0
D= 36-4*1*(-7) =36+28 =64 = 8^2
y1=(6+8)/(2*1)=14/2 =7
y2=(6-8)/(2*1)=-2/2 =-1
y1=7 tgx=7 ==> x1 = arctg(7)
y2=-1 tgx=-1 ==> 1) x2 = -pi/4
2) x3 = 3*pi/4
x1+x2+x3=arctg(7)-pi/4+3*pi/4=pi/2 + arctg(7)