Question

Замените , , , , , на числа так, чтобы получилась верная цепочка сравнений. 3^1000≡(3^)^500≡^500≡(^3)^166⋅^≡^166⋅≡ (mod7).
В качестве ответа выберите значения , , .

Answer 1

Чтобы заменить пропущенные значения в цепочке сравнений, мы должны понять, как работает китайская теорема об остатках.

Поэтапное решение приведено ниже:

Шаг 1: Разложение числителя 1000 на простые множители.
1000 = 2^3 * 5^3

Шаг 2: Разложение модуля 7 на простые множители.
7 = 7^1

Шаг 3: Расчет остатка для каждой степени числа 3.
3^1000 ≡ (3^8)^125 ≡ (3^2)^4 * (3^2)^1 ≡ 9^4 * 3 ≡ 4^4 * 3 ≡ 16^2 * 3 ≡ 2^2 * 3 ≡ 4 * 3 ≡ 12 (mod 7)

Шаг 4: Подстановка полученного остатка в исходное уравнение.
3^1000 ≡ 12 (mod 7)

Таким образом, значения , и равны 4, 2 и 12 соответственно.