Разложите на множители 25xˆ2-(x+y) ˆ2

Question

Алгебра: Разложите на множители 25xˆ2-(x+y) ˆ2

svetik83 · Accepted Answer

Для начала мы найдем производную этой функции:
y'=(2sinx + sin2x)'=2cosx+2cos2x

Теперь приравниваем нашу производную нулю
y'=0

Теперь по формуле двойного угла:
cos2x=2cos^2x-1

Делаем замену: cos x = t
2t^2+t-1=0

Находим дискриминант:
D=1-4*2*(-1)=9=3^2

$t_1= \frac{-1+3}{4}= \frac{1}{2}$
$t_2= \frac{-1-3}{4}=-1$
Подставим значения t1 и t2 в нашу замену
$1) cosx= \frac{1}{2}; x= \frac{ \pi }{3} + 2 \pi n$
n ∈Z
Эта точка не подходит нашему промежутку
$[ \frac{ \pi }{2}; \pi ]$ $2) cosx=-1;x= \pi +2 \pi n$
n ∈Z
Эта точка уже принадлежит нашему промежутку
Подставим значение x в начальное условие:
$y( \pi )=2sin \pi + sin2 \pi =0$
Теперь найдем значения функции на концам нашего промежутка:
$y( \frac{\pi}{2})=2sin\frac{\pi}{2} + sin2\frac{\pi}{2}=2*1+0=2$
В точке (pi/2) мы уже нашли значение функции
Теперь зная 2 точки мы можем определить соответственно максимальное и минимальное значение
$y_{max}=2$
$y_{min}=0$

ответ: наибольшее - 2; наименьшее - 0.

MOGZ ответил