Question

1.а)решите уравнение 2соs^2х=корень из 3 sin(3п/2+х) б)найдите корни этоо уравнения,пренаджежащие промежутку[3п/2; 3п] заранее : )

Answer 1

$2cos^2x = \sqrt{3}sin(\frac{3\pi}{2} + x)\\\\ sin(\frac{3\pi}{2} + x) = sin(\frac{3\pi}{2})cosx + cos(\frac{3\pi}{2})sinx = -cosx\\\\ 2cos^2x = -\sqrt{3}cosx\\\\ 2cos^2x + \sqrt{3}cosx = 0\\\\ cosx(2cosx + \sqrt{3}) = 0\\\\ 1) \ cosx = 0\\\\ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in Z\\\\ 2) \ 2cosx + \sqrt{3} = 0\\\\ cosx = -\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\ x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \ n \in Z\\\\ x = -\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \ n \in Z$

В искомый отрезок попадают следующие корни (это отчетливо видно из Рис. 1):

$x = \frac{3\pi}{2},\\\\ x = \frac{5\pi}{2},\\\\ x = 3 \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$

Answer 2

a)Формулы приведения.

$sin(\frac{3\pi}{2}+x)=-cosx$

$2cos^2x=\sqrt{3}*(-cosx) \\2cos^2x+\sqrt{3}cosx=0\\cosx(2cosx+\sqrt{3})=0\\cosx=0\ \ \ \ \ \ \ \ 2cosx+\sqrt{3}=0$

Решу по отдельности

$cosx=0\\x=\frac{\pi}{2}+\pi*n$

n принадлежит Z.

$2cosx+\sqrt{3}=0 \\cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\x=бarccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi*k\\x=б(\pi-arccos\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi*k\\x=б(\pi-\frac{\pi}{6})+2\pi*k\\x=б\frac{5\pi}{6}+2\pi*k$

б)$[\frac{3\pi}{2};3\pi]\\x=\frac{\pi}{2}+\pi*n\\n=1;x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2}\\n=2;x=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2}$

$x=б\frac{5\pi}{6}+2\pi*k\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi*k\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi*m\\k=1;x=2\pi+\frac{5\pi}{6}=\frac{17\pi}{6}$ 

Для второго нет корней, удовлетвояющих промежутку.

ответ: $\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2};\frac{17\pi}{6}$