Стационарная точка функции - это точка на графике функции, где ее производная равна нулю или не существует. В других словах, это точка, где функция имеет экстремум (максимум или минимум) или точку перегиба. Для определения стационарных точек функции, нам нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю, а затем решить полученное уравнение.
Первый вопрос: Определение стационарных точек функции y = 2e^3x - 3e^2x
1. Найдем производную функции y по x:
y' = d/dx (2e^3x - 3e^2x)
Для нахождения производной сложной функции, используем правило производной экспоненты:
d/dx(e^kx) = k * e^kx
Применяя это правило к нашей функции, получим:
y' = 2 * 3e^3x - 3 * 2e^2x
= 6e^3x - 6e^2x
2. Приравняем производную к нулю:
6e^3x - 6e^2x = 0
3. Решим полученное уравнение:
6e^3x = 6e^2x
e^3x = e^2x
Так как основание экспоненты e не равно нулю, то это уравнение выполняется только тогда, когда показатели степеней равны:
3x = 2x
x = 0
Таким образом, функция y = 2e^3x - 3e^2x имеет одну стационарную точку при x = 0.
Второй вопрос: Определение точек экстремума функции y = 5x^2 + 20x - 3
1. Найдем производную функции y по x:
y' = d/dx (5x^2 + 20x - 3)
Применяем правило производной степени и линейного слагаемого:
d/dx(x^n) = n * x^(n-1)
d/dx(c) = 0 (где c - константа)
Применяя это правило к нашей функции, получим:
y' = 10x + 20
2. Приравниваем производную к нулю и решим полученное уравнение:
10x + 20 = 0
10x = -20
x = -20/10
x = -2
Таким образом, функция y = 5x^2 + 20x - 3 имеет одну точку экстремума при x = -2.
Третий вопрос: Определение точек экстремума функции f(x) = x^5/5 - 4/3 x^3
1. Найдем производную функции f по x:
f'(x) = d/dx (x^5/5 - 4/3 x^3)
Применяем правило производной степени и степени сложной функции:
d/dx(x^n) = n * x^(n-1)
d/dx(g(x)^n) = n * g(x)^(n-1) * g'(x), где g(x) - сложная функция
Применяя эти правила к нашей функции, получим:
f'(x) = 5/5 * x^(5-1) - 4/3 * 3 * x^(3-1)
= x^4 - 4x^2
2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
x^4 - 4x^2 = 0
Чтобы найти уравнение кривой, мы должны использовать информацию о ее угловом коэффициенте касательной в любой точке M(x, y). Нам нужно найти такую функцию, которая будет соответствовать этому условию.
Пусть уравнение кривой имеет вид y=f(x), где f(x) - функция, которая определяет кривую.
Тогда мы можем найти производную f'(x) для определения углового коэффициента касательной в каждой точке M(x, y) кривой.
Тогда формула для углового коэффициента касательной будет выглядеть так:
f'(x)=-x/y
Для дальнейшей работы с этим уравнением, давайте избавимся от дроби, умножив обе стороны на y:
y*f'(x)=-x
Теперь давайте проинтегрируем обе части уравнения по x:
∫ y*f'(x)dx=∫ -xdx
∫ y*d/dx[f(x)] dx=∫ -xdx
Так как производная функции f(x) по x это f'(x), то мы можем просто заменить y*f'(x) на f(x), и получим:
∫ f(x) dx=-∫ x dx
Теперь проинтегрируем обе части уравнения и получим:
F(x) = -1/2 * x^2 + C
где F(x) - интеграл от f(x), C - константа интегрирования.
Таким образом, уравнение кривой будет выглядеть как:
y = -1/2 * x^2 + C
Так как мы не имеем дополнительной информации о значении y при x=0 или других точках, то уравнение кривой будет иметь вид:
ответ: (y - 2)²
Объяснение: