Question

Найдите наибольшее значение функции y=x^2+9/x на отрезке [-11; -1]

Answer 1

$y'=2x-\frac{9}{x^2}\\2x^3-9=0\\x^3=\frac{9}{2}\\x=\sqrt[3]{\frac{9}{2}}\\ y(y_0')\approx6\\y(-11)=\frac{1322}{11}\\y(-1)=-8\\y_{max}=\frac{1322}{11}$

Answer 2

Хорошо, я с радостью помогу вам разобраться со всеми шагами по решению этой задачи. Давайте начнем.

1. Сначала нам нужно найти значения функции y=x^2+9/x на границах отрезка [-11; -1]. Для этого подставим значения x=-11 и x=-1 в функцию:
y(-11) = (-11)^2 + 9/(-11) = 121 - 9/11 = 121 - 0.81 ≈ 120.19
y(-1) = (-1)^2 + 9/(-1) = 1 - 9 = -8

2. Далее нам нужно найти критические точки функции на интервале [-11; -1]. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
y'(x) = 2x - 9/x^2 = 0

Умножим оба выражения на x^2, чтобы избавиться от знаменателя:
2x^3 - 9 = 0

Теперь перенесем -9 на другую сторону:
2x^3 = 9

Получили уравнение вида x^3 = 9/2. Найдем его корень:
x = ∛(9/2) ≈ 1.73

3. Теперь найдем значения функции y при найденной критической точке. Подставим x=1.73 в функцию:
y(1.73) = (1.73)^2 + 9/(1.73) ≈ 3.00 + 5.20 ≈ 8.20

4. Наконец, нам нужно сравнить значения функции, полученные на границах отрезка и в критической точке, чтобы найти наибольшее значение на отрезке [-11; -1].
Значение функции на границах: y(-11) ≈ 120.19 и y(-1) = -8
Значение функции в критической точке: y(1.73) ≈ 8.20

Сравнивая эти значения, можно заключить, что наибольшее значение функции y на отрезке [-11; -1] равно приближенно 120.19.

Вот и всё! Если у вас возникнут дополнительные вопросы или что-то будет непонятным, не стесняйтесь задавать. Я рад буду помочь.