Question

По теории вероятности: из трех билетов два выигрышные. найти вероятность того что среди взятых наугад 5 билетов хотя бы один выиграшный? найти вероятность того что пр одновременном броске двух кубиков сумма очков которые выпали равна 9? из трех билетов два выигрышные. найти вероятность того что среди взятых наугад 5 билетов хотя бы один выиграшный? найти вероятность того что при одновременном броске двух кубиков сумма очков которые выпали равна 9? шесть человек случайным образом сели на лавочке. найти вероятност ь того что два фиксированных человека будут сидеть рядом?

Answer 1

1) Из трех билетов два выигрышные. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 5 билетов хотя бы один выигрышный?

Так как из трех билетов выигрышных два, то вероятность выиграть $p= \frac{2}{3}$, тогда вероятность проиграть $q=1-p=1- \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. 

Зная р и q, можно найти вероятность наступления хотя бы одного события в n испытаниях по формуле: $P(A)=1-q^n$.

Подставляя известные данные, получим: $P(A)=1-( \frac{1}{3} )^5=1- \frac{1}{243} = \frac{242}{243}$.

ответ: 242/243

2) Найти вероятность того, что при одновременном броске двух кубиков сумма выпавших очков равна 9?

Всего исходов 36, благоприятных исходов 4 (выпали кубики 3/6, 4/5, 5/4, 6/3).

Тогда искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов: $P(A)= \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

ответ: 1/9

3) Шесть человек случайным образом сели на лавочке. Найти вероятность того, что два фиксированных человека будут сидеть рядом?

Всего вариантов - число перестановок из 6 элементов: $P_6=6!=720$. Для того чтобы найти число благоприятных исходов, (то есть того, что два фиксированных человека будут сидеть рядом), мы "склеиваем" этих двоих и считаем число перестановок из 5 элементов: $P_5=5!=120$, но так как они могут сесть двояко (один слева, другой справа и один справа, другой слева) мы домножаем получившееся число на 2: $2\cdot P_5=2\cdot5!=240$.

Искомая вероятность равна $P(A) =\frac{240}{720} =\frac{1}{3}$.

ответ: 1/3

Answer 2

1) Всего у нас n - билетов. Вероятность вытащить выигрышный: $p = \frac{\frac{2n}{3}}{n} = \frac{2}{3}, \ \bar{p} = \frac{1}{3}$

p = 1 - p(не вытащили выигрышные билеты)

p(не вытащили не одного выигрышного билета) = $(\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}$

$p = 1 - \frac{1}{243} = \frac{242}{243}$

2) 4 + 5 = 5 + 4 = 6 + 3 = 3 + 6 = 9

Всего у нас 6*6 = 36 исходов. Благоприятствующих - 4 (они обозначены строкой выше).

$p = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

3) Всего у нас 6*5*4*3*2*1 = 6! возможностей рассадить этих людей на лавочке. (первым сядет один из шести, вторым, один из оставшихся пяти и т.д.)

Фиксируем двух человек, назовём их первым и вторым. Тогда у нас такие возможности:

1 2  4 других

1 другой 1 2 3 других

2 других 1 2 2 других

3 других 1 2 1 другой

4 других 1 2

2 1  4 других

1 другой 2 1 3 других

2 других 2 1 2 других

3 других 2 1 1 другой

4 других 2 1

Всего десять возможностей, и на каждую приходится 4! размещений, в чём легко убедиться.

Рассмотрим только для одного случая(т.к. об остальных можно рассуждать аналогично): 1 2 - 4 других. 4 других места можно распределить а первые две фиксированы, то есть их распределить можно только одним

$p = \frac{10*4!}{6!} = \frac{5*2}{5*6} = \frac{1}{3}$