Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при x² в котором равенединице) x² + px + q = 0 сумма корней равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, апроизведение корней равно свободному члену q:
В случае неприведенного квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:
x1 + x2 = -b / a x1 · x2 = c / aТеорема Виета хороша тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1 · x2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x² – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, апроизведение должно равняться –1.Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x² – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 · 3, 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.
В теории чисел (делимость и сравнение по модулю) доказывается, что остатки от деления повторяются с некоторым периодом.
В данной задаче остатки от деления числа 3^n на 7 при увеличении n повторяются с периодом 6:
первое число, при делении на 7 дающее в остатке 5, это число 243 (при n=5), следующее 177147 (при n=11) и т.д.
Подробнее:
n=5 3^n=243=34*7+5
n=11 3^n=177147=25306*7+5
n=17 3^n=...
n=23 3^n=...
...
Можем записать
где k=0,1,2,3,4,...
По условию задачи n-двузначное число, следовательно
отсюда максимально возможное значение k=15
n=5+6*15=95
ответ: наибольшее двузначное число n=95