Question

Решить дифференциальные уравнения

Answer 1

a)

Это ДУ с разделяющимися переменными.

$y' {ln}^{3} y + y \sqrt{x + 1} = 0 \\ \frac{dy}{dx} \sqrt{x + 1} = - y {ln}^{3} y \\ \int\limits \frac{dy}{y {ln}^{3}y } = - \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{x + 1} } \\ \int\limits \frac{1}{y} \times \frac{ dy}{ln {}^{3} y} = - \int\limits {(x + 1)}^{ - \frac{1}{2} } d(x + 1) \\ \int\limits {ln}^{ - 3} (y)d(ln(y)) = - \frac{ {(x + 1)}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + C \\ \frac{ {ln}^{ - 2} y}{ - 2} = - 2 \sqrt{x + 1} + C \\ \frac{1}{2 {ln}^{2} y} = 2 \sqrt{x + 1} + C\\ \frac{1}{ {ln}^{2} y} = 4 \sqrt{x + 1} + C$

общее решение

2.

$y' = \frac{y}{x} + \frac{1}{ \cos( \frac{y}{x} ) } \\$

однородное ДУ

$\frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u$

$u'x + u = u + \frac{1}{ \cos(u) } \\ \frac{du}{dx} x = \frac{1}{ \cos(u) } \\ \int\limits \cos(u) du = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \sin(u) = ln(x) + C \\ \sin( \frac{y}{x} ) = ln(x) + C$

общее решение

3.

$y'' + 8y' + 7y = 0$

Однородное линейное ДУ

$y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} + 8k + 7) = 0 \\ D = 64 - 28 = 36 \\ k_1 = \frac{ - 8 + 6}{2} = - 1 \\ k_2 = - 7 \\ y = C_1 {e}^{ - x} + C_2 {e}^{ - 7x}$

общее решение