Question

Найдите значение выражения (буду признателен за подробное решение т.к. в первую очередь хочу разобраться сам! ) p=49x⁴-42x²y²+9y⁴ если x=2t\√7-√7t² y=t²+1\√3-√3t²

Answer 1

$49 x^4-42 x^2 y^2 + 9 y^4 =$

$7^2 x^4-2\cdot7\cdot3\cdot x^2y^2+3^2 y^4=$

$(7x^2)^2-2(7x^2)(3y^2) +(3y^2)^2=$

$(7x^2-3y^2)^2$

подсчитаем $7x^2-3y^2$   -разностьквадратов

$7x^2-3y^2=(\sqrt{7} x-\sqrt{3} y)\cdot(\sqrt{7} x+\sqrt{3}y)$

$(\sqrt{7} x+\sqrt{3} y)=\frac{\sqrt{7}\cdot 2t}{\sqrt{7}-\sqrt{7}\cdot t^2}+\frac{\sqrt{3}\cdot (t^2+1)}{\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot t^2}=$

$\frac{2t}{1-t^2}+\frac{(t^2+1)}{1-t^2}=\frac{2t+t^2+1}{1-t^2}=\frac{(t+1)^2}{1-t^2}=-\frac{t+1}{t-1}$

$(\sqrt{7} x-\sqrt{3} y)=\frac{\sqrt{7}\cdot 2t}{\sqrt{7}-\sqrt{7}\cdot t^2}-\frac{\sqrt{3}\cdot (t^2+1)}{\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot t^2}=$

$\frac{2t}{1- t^2}-\frac{(t^2+1)}{1-t^2}= \frac{2t-t^2-1}{1- t^2}=\frac{t^2-2t+1}{t^2-1}=\frac{(t-1)^2}{t^2-1}=\frac{t-1}{ t+1}$

$(7x^2-3y^2)^2=(-\frac{t+1}{t-1}\cdot\ \frac{t-1}{t+1})^2=(-1)^2=1$

ответ: 1