Question

Найдите корни многочлена с метода разложения его на множители
Р(х)=х³-3х²-3х+1​

Answer 1

Для нахождения корней многочлена с помощью метода разложения на множители, мы ищем такие значения x, при которых многочлен P(x) равен нулю.

В нашем случае, у нас есть многочлен: P(x) = x³ - 3x² - 3x + 1

Первый шаг состоит в том, чтобы проверить возможные целочисленные значения, которые будут корнями данного многочлена. В данном случае, мы можем проверить перечисление делителей свободного члена (1) и коэффициента старшего слагаемого (1). Делители свободного члена: ±1, делители коэффициента старшего слагаемого: ±1.

Очевидно, что если у многочлена есть целочисленные корни, то они должны быть равны одному из этих значений.

Подставим различные значения в многочлен P(x) для нахождения корней:

P(1) = (1)³ - 3(1)² - 3(1) + 1 = 1 - 3 - 3 + 1 = -4 ≠ 0
P(-1) = (-1)³ - 3(-1)² - 3(-1) + 1 = -1 - 3 + 3 + 1 = 0 (корень)

По результатам, мы видим, что -1 - это корень многочлена P(x).

Теперь нам нужно разделить изначальный многочлен на (x + 1), поскольку мы уже нашли один корень. Используя синтетическое деление или обычное деление, мы можем записать:

(x³ - 3x² - 3x + 1) / (x + 1)

Получим:

x² - 4x + 5

Теперь у нас есть новый многочлен, и его нужно продолжить разлагать на множители. Однако, этот многочлен уже не имеет целочисленных корней. Мы можем решить квадратное уравнение x² - 4x + 5 = 0, используя квадратное уравнение или другие методы, чтобы найти его корни. В данном случае, корни этого уравнения являются комплексными числами.

Таким образом, исходный многочлен P(x) нельзя разложить на множители только с использованием целых чисел. Он имеет один целочисленный корень (-1) и два комплексных корня из решения квадратного уравнения.

Итак, корни многочлена P(x) = x³ - 3x² - 3x + 1 равны: -1 и два комплексных корня.