Question

Найдите для функции y=x²+4x+3
​

Answer 1

$y=x^2 - 4x + 3$

а) Абсолютно никаких ограничений на аргумент здесь не накладывается. Поэтому область определения функции - все действительные числа: $D(y) = \mathbb{R}$ .

Пункты б и в напрямую связаны друг с другом.

Для начала посмотрим на саму нашу функцию. Она является квадратичной. Квадратичные функции имеют формулу вида  $y = ax^2+bx+c$ , где коэффициент $a$ играет большую роль - его знак определяет, ветви параболы направлены вниз или вверх. Если он положительный, то ветви направлены вверх, если отрицательный - вниз. У нашей функции $y = x^2 - 4x + 3$  коэффициент  $a = 1$ . Он положительный, а значит, ветви данной параболы направлены вверх до бесконечности. Таким образом, наибольшего значения у этой функции не существует.

Чтобы найти наименьшее, для начала нужно найти координаты вершины параболы. Абсциссу находим по формуле  $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ . Для нашего случая получаем:

$x_0 = -\dfrac{-4}{2\cdot 1} = -\dfrac{-4}{2} = -(-2) = \bf{2}$

Чтобы найти ординату вершины параболы, подставляем в нашу функцию полученное значение абсциссы.

$y_0 = 2^2 - 4\cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = \bf{-1}$ .

Итак, координаты вершины параболы: $\bf{(2;-1)$ . Ордината вершины параболы, ветви которой направлены вверх, является её наименьшим значением. Делаем выводы из найденного:

б) $E(y) = [-1;+\infty)$ .

в)  $y_{min} = -1\ ,\ y_{max}$ не существует.

г) Уравнение оси симметрии параболы является абсциссой её вершины. Для нашего случая, это  $\bf{x = 2}$ .

д) Нули функции - это значения аргумента, при которых функция равна нулю. Чтобы их найти, нужно решить уравнение:

$y = 0\\\\x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_1x_2 = 3\\x_1 + x_2 = 4\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = 1; x = 3$

Итак, существует два нуля данной функции: $\bf{x = 1}$ и $\bf{x = 3}$.

е) Промежутки знакопостоянства - промежутки, на которых функция либо всегда положительна, либо всегда отрицательна. Чтобы их найти, расположим нули этой функции на координатной прямой и определим знак на каждом промежутке.

             +                              -                              +

--------------------------о--------------------------о-----------------------> x

                              $1$                               $3$

Отсюда делаем вывод, что функция положительна при $\bf{x\in(-\infty;\ 1)\cup(3;\ +\infty)}$  и отрицательна при  $\bf{x\in(1;\ 3)}$.

ж) Когда  $a0$, функция убывает при  $x\in (-\infty;\ x_0]$ и возрастает при $x\in[x_0;\ +\infty)$ . Для нашего случая, функция убывает при $\bf{x\in(-\infty;\ 2]$и возрастает при $\bf{x\in [2;\ +\infty)}$ .