Question

Вправильную четырехугольную пирамиду боковое ребро которой равно 3 корня из 5 а высота=3, списана сфера( сфера касается всех граней пирамиды). найти площадь этой

Answer 1

Чертеж во вложении.

Пирамида МАБСД. МО=3 -высота, МВ=МА=МС=МД=3√5.

О₁ - центр вписанной сферы.

АВСД - квадрат, О-центр вписанной и описанной окружностей.

∆ВМО-прямоугольный. По теореме Пифагора

$BO=\sqrt{BM^2-MO^2}=\sqrt{45-9}=\sqrt{36}=6$

∆ВОA-прямоугольный, ОВ=ОА. По теореме Пифагора

$BA=\sqrt{BO^2+AO^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

Тогда ОР=1/2АВ=3√2.

В прямоугольном ∆МОР по теореме Пифагора

$MP=\sqrt{PO^2+MO^2}=\sqrt{18+9}=3\sqrt{3}$

О₁ - центр вписанной сферы, является центром вписанной в ∆ТМР окружности. Для этой окружности и для сферы r=ОО₁.

Тогда О₁ - точка пересечения биссектрис ∆ТМР.

Рассмотрим прямоугольный ∆МОР. РО₁-биссектриса. МО₁=МО-ОО₁=3-r.

По свойству биссектрисы треугольника

$\frac{OP}{OO_1}=\frac{MP}{MO_1} \\\ \frac{3\sqrt2}{r}=\frac{3\sqrt3}{3-r} \\\ \frac{\sqrt2}{r}=\frac{\sqrt3}{3-r} \\\ \sqrt2(3-r)=r\sqrt3 \\\ 3\sqrt2-r\sqrt2=r\sqrt3 \\\ r=\frac{3\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}=3\sqrt2(\sqrt3-\sqrt2})$

Площадь сферы:

$S=4\pi r^2 \\\ S=4\pi (3\sqrt2(\sqrt3-\sqrt2}))^2=72\pi (\sqrt3-\sqrt2})^2=\\\ =72\pi (5-\sqrt6)=360\pi -72\pi \sqrt6$