Question

Решите уравнение: 2cos^2x+5sinx+1=0 2 sin^2x/2+19sinx/2-10=0

Answer 1

$2\cos^2x+5\sin x+1=0\\ 2\cdot(1-\sin^2x)+5\sin x+1=0\\ 2-2\sin^2x+5\sin x+1=0\\ 2\sin^2x-5\sin x-3=0$
Пусть sin x = t, причем |t|≤1, тогда получаем
$2t^2-5t-3=0$
$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49\\ t_1= \frac{5+7}{4}\ \textgreater \ 1\\ t_2=-0,5$
Обратная замена:
$\sin x=-0,5\\ x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{6}+ \pi k ,k \in \mathbb{Z}$

ответ: $(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{6}+ \pi k ,k \in \mathbb{Z}$

$2\sin^2 \frac{x}{2} +19\sin\frac{x}{2} -10=0$
Пусть $\sin\frac{x}{2} =t\,\,(|t| \leq 1)$, тогда получаем
$2t^2+19t-10=0\\ D=b^2-4ac=19^2-4\cdot2\cdot(-10)=441\\ t_1 =\frac{-19-21}{4}\ \textless \ -1\\ t_2=0.5$
Обратная замена:
$\sin\frac{x}{2} =0.5\\ \frac{x}{2} =(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6}+ \pi k,k \in \mathbb{Z}\\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{3} +2 \pi k,k \in \mathbb{Z}$

ответ: $(-1)^k\cdot \frac{\pi}{3} +2 \pi k,k \in \mathbb{Z}$