ответ:Данный урок мы посвятим решению типовых задач на построение графика функции . Вспомним определение квадратного корня.
Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен .
.
Изобразим график – это правая ветвь параболы (рис. 1).
Рис. 1.
На графике наглядно виден смысл вычисления квадратного корня. Например, если рассмотреть ординату 16, то ей будет соответствовать абсцисса 4, т. к. . Аналогично, ординате 9 на графике соответствует точка с абсциссой 3, поскольку , ординате 11 соответствует абсцисса , т. к. (квадратный корень из 11 не извлекается в целых числах).
Теперь вспомним график функции (рис. 2).
Рис. 2.
На графике для наглядности изображены несколько точек, ординаты которых вычисляются с извлечения квадратного корня: , , .
Примеры на преобразование графиков с корнями
Пример 1. Постройте и прочтите график функции: а) , б) .
Решение. а) Построение начинается с простейшего вида функции, т. е. в данном случае с графика (пунктиром). Затем для построения искомого графика график функции необходимо сдвинуть влево на 1 (рис. 3). При этом все точки графика сдвинутся на 1 влево, например, точка с координатами (1;1) перейдет в точку с координатами (0;1). В результате получаем искомый график (красная кривая). Проверить такой легко при подстановке нескольких значений аргумента.
Рис. 3.
Прочтем график: если аргумент меняется от до , функция возрастает от 0 до . Область определения (ОДЗ) при этом требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, т. е. .
б) Для построения графика функции поступим аналогичным образом. Сначала строим график (пунктиром). Затем для построения искомого графика график функции необходимо сдвинуть вправо на 1 (рис. 4). При этом все точки графика сдвинутся на 1 вправо, например, точка с координатами (1;1) прейдет в точку с координатами (2;1). В результате получаем искомый график (красная кривая).
Рис. 4.
Прочтем график: если аргумент меняется от до , функция возрастает от 0 до . Область определения (ОДЗ) аналогична предыдущему случаю: .
Замечание. На указанных примерах несложно сформулировать правило построения функций вида:
.
Пример 2. Постройте и прочтите график функции: а) , б) .
Решение. а) Этот пример также демонстрирует преобразование графиков функций, но только уже другого типа. Начинаем построение с простейшей функции (пунктиром). Затем график построенной функции смещаем на 2 вверх и получаем на рисунке 5 искомый график (красная кривая). Точка с координатами (1;1) при этом, например, переходит в точку (1;3).
Рис. 5.
Прочтем график: если аргумент меняется от 0 до , функция возрастает от 2 до . Область определения (ОДЗ): .
б) Также начинаем построение с простейшей функции (пунктиром). Затем график построенной функции (рис. 6) смещаем на 1 вниз и получаем искомый график (красная кривая). Точка с координатами (1;1) при этом, например, переходит в точку (1;0).
5^(x-2) = 5^0 2^(x² -3x +8) = 2^6
x-2 = 0 x² -3x +8 = 6
x = 2 x² -3x +2 = 0
2) 3·4^x =48 x = 1 и х = 2
4^x = 16 6)7^(2x-8)·7^(x+7) = 0
4^x = 4² нет решений
x=2 7)(0,2)^x ≤ 25·5√5
3)3^x=27·3√9 5^-x ≤ 5²·5·5^1/2
3^x = 3³·3·3 5^-x ≤5^3,5
3^x = 3^5 -x ≤ 3,5
x = 5 x ≥ -3,5
4)3^x + 3^(x +1) = 4 8)(1/2)^-x + 2^(3 +x) ≤9
3^x(1 +3) = 4 2^x +2^(3 +x) ≤ 9
3^x·4 = 4 2^x(1 +2^3) ≤ 9 | :9
3^x = 1 2^x ≤ 1
x = 0 2^x ≤2^0
x≤ 0