Question

На прямій 5х-2у+9=0 знайти точку а, рівновіддалену від точок в(-2; -3) і с(4; 1) і обчислити площу трикутника авс

Answer 1

А я, вот, знаю, как доказать. )))
Т.к. уравнение прямой есть  5х-2у+9=0, то любая точка этой прямой, в том числе и точка А, имеет координаты (х; $\frac{5}{2}x+\frac{9}{2}$).
Т.к. А равноудалена от В и С, то АВ=АС, а следовательно, $AB^2=AC^2$
$AB^2=(-2-x)^2+(-3-\frac{5}{2}x-\frac{9}{2})^2=(x+2)^2+(\frac{5}{2}x+\frac{15}{2})^2\\\\ AC^2=(4-x)^2+(1-\frac{5}{2}x-\frac{9}{2})^2=(x-4)^2+(\frac{5}{2}x+\frac{7}{2})^2$
Приравняем правые части:
$(x-4)^2+(\frac{5}{2}x+\frac{7}{2})^2=(x+2)^2+(\frac{5}{2}x+\frac{15}{2})^2$
$x^2-8x+16+\frac{25}{4}x^2+\frac{35}{2}x+\frac{49}{4}=x^2+4x+4+\frac{25}{4}x^2+\frac{75}{2}x+\frac{225}{4}$
$-32x+64+70x+49=16x+16+150x+225\\ 128x=-128\\ x=-1\\ y=\frac{5}{2}*(-1)+\frac{9}{2}=2$
Итак, точка А(-1; 2) лежит на прямой 5х-2у+9=0 и равноудалена от указанных точек В и С.
Для вычисления площади ∆АВС найдем длины сторон этого ∆:
$AB=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2}=\sqrt{26}\\ AC=\sqrt{5^2+(-1)^2}=\sqrt{26}\\ BC=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}$
Для данных отрезков можно заметить,что $BC^2=AC^2+AB^2$
Поэтому по обратной теореме Пифагора ∆АВС - прямоугольный с гипотенузой ВС и ∠А=90°.
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB*AC=\frac{1}{2}*\sqrt{26}*\sqrt{26}=\frac{1}{2}*26=13$