Question

Ранг матрицы в зависимости от параметра -1 2 1 -1 а 0 а 2 1

Answer 1

$\left[\begin{array}{ccc}-1&2&1\\-1&a&0\\a&2&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1&2&1\\-1&a&0\\a+1&0&0\end{array}\right]$ 

Это из третьей строки вычли первую строку. Дальше вычтем из 1 строки вторую, получим матрицу вида

$\left[\begin{array}{ccc}0&2-a&1\\-1&a&0\\a+1&0&0\end{array}\right]$

Матрица получилась нижнетреугольная. Ранг матрицы равено количеству линейнонезависимых строк или столбцов в матрице.

Рассмотрим при каких а в матрице появляются нулевые строки

1. а+1=0, а=-1, в этом случаем третья строка зануляется и можно занулить второй столбец. Вычеркиваем нулевую строку и столбец, получаем диагональную матрицу размером 2х2. Количество линейнонезависимых строк=2 значит Rg(A)=2

2. a=0. Получается матрица вида

$\left[\begin{array}{ccc}0&2&1\\-1&0&0\\1&0&0\end{array}\right]$  Видно, что вторая и третья строки линейно зависимы (2 получается из третьей домножением на -1). Действуя так же как и в случае 1, получаем матрицу 2х2 с линейнонезависимыми строками, значит Rg(A)=2

Во всех остальных случаев ранг матрицы получается равен Rg(A)=3.

Т.к при любых других значениях  а матрица имеет диагональный вид. Значит количество линейнонезависимых векторов будет равно 3.

ответ: a=-1 и a=0 Rg(A)=2 , $a\neq1$  и ф$a\neq0$ Rg(A)=3