Kаковы должны быть размеры закрытого цилиндрического бака объёмом 118,638π, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала? Радиус основания цилиндра равен:
Для решения данной задачи, нам необходимо определить размеры цилиндрического бака, чтобы использовать наименьшее количество материала при его изготовлении.
Пусть радиус основания цилиндра будет обозначен как r, а высота цилиндра - h.
Объем цилиндра можно вычислить с использованием формулы:
V = π * r^2 * h,
где π - математическая постоянная, равная примерно 3.14159.
По условию задачи, объем цилиндра равен 118,638π, поэтому мы можем записать уравнение:
118,638π = π * r^2 * h.
Мы видим, что π сокращается с обеих сторон уравнения, поэтому мы можем упростить его до:
118,638 = r^2 * h.
Теперь мы должны найти связь между переменными r и h, чтобы выразить их друг через друга. Используем формулу поверхности цилиндра:
S = 2πr^2 + 2πrh,
где S - поверхность цилиндра.
Однако, нам необходимо минимизировать количество материала, поэтому мы можем обратиться к другой формуле для S:
S = 2πr^2 + πrℎ,
где rℎ - это окружность, полученная от обрезания верхней и нижней части бака.
Нам известно, что объем цилиндра равен 118.638π, значит r^2 * h = 118,638.
Мы можем выразить h через r^2:
h = 118,638 / r^2.
Теперь подставим это значение в формулу для поверхности цилиндра:
S = 2πr^2 + πr * (118,638 / r^2).
Нам нужно минимизировать S. Приравняем ее к 0 и найдем минимум функции:
0 = 2πr^2 + πr * (118,638 / r^2).
Для удобства решения, давайте упростим уравнение, умножив все его части на r^2, получим:
0 = 2πr^4 + 118.638π.
Теперь выразим r^4:
2πr^4 = -118.638π.
Разделим обе части уравнения на 2π:
r^4 = -118.638 / 2.
Так как радиус не может быть отрицательным и r^4 - это квадрат радиуса, получаем:
r^4 = 118.638 / 2.
Теперь возьмем корень четвертой степени с обеих частей уравнения:
r = (118.638 / 2)^(1/4).
Теперь, когда у нас есть значение r, мы можем вычислить значение h, используя предыдущее уравнение:
h = 118.638 / r^2.
Таким образом, размеры закрытого цилиндрического бака объёмом 118,638π будут иметь радиус основания, равный (118.638 / 2)^(1/4), и высоту цилиндра, равную 118.638 / [(118.638 / 2)^(1/4)]^2.
Рекомендуется заключить ответ в округленных значениях, чтобы сделать его понятным для школьников.
Пусть радиус основания цилиндра будет обозначен как r, а высота цилиндра - h.
Объем цилиндра можно вычислить с использованием формулы:
V = π * r^2 * h,
где π - математическая постоянная, равная примерно 3.14159.
По условию задачи, объем цилиндра равен 118,638π, поэтому мы можем записать уравнение:
118,638π = π * r^2 * h.
Мы видим, что π сокращается с обеих сторон уравнения, поэтому мы можем упростить его до:
118,638 = r^2 * h.
Теперь мы должны найти связь между переменными r и h, чтобы выразить их друг через друга. Используем формулу поверхности цилиндра:
S = 2πr^2 + 2πrh,
где S - поверхность цилиндра.
Однако, нам необходимо минимизировать количество материала, поэтому мы можем обратиться к другой формуле для S:
S = 2πr^2 + πrℎ,
где rℎ - это окружность, полученная от обрезания верхней и нижней части бака.
Нам известно, что объем цилиндра равен 118.638π, значит r^2 * h = 118,638.
Мы можем выразить h через r^2:
h = 118,638 / r^2.
Теперь подставим это значение в формулу для поверхности цилиндра:
S = 2πr^2 + πr * (118,638 / r^2).
Нам нужно минимизировать S. Приравняем ее к 0 и найдем минимум функции:
0 = 2πr^2 + πr * (118,638 / r^2).
Для удобства решения, давайте упростим уравнение, умножив все его части на r^2, получим:
0 = 2πr^4 + 118.638π.
Теперь выразим r^4:
2πr^4 = -118.638π.
Разделим обе части уравнения на 2π:
r^4 = -118.638 / 2.
Так как радиус не может быть отрицательным и r^4 - это квадрат радиуса, получаем:
r^4 = 118.638 / 2.
Теперь возьмем корень четвертой степени с обеих частей уравнения:
r = (118.638 / 2)^(1/4).
Теперь, когда у нас есть значение r, мы можем вычислить значение h, используя предыдущее уравнение:
h = 118.638 / r^2.
Таким образом, размеры закрытого цилиндрического бака объёмом 118,638π будут иметь радиус основания, равный (118.638 / 2)^(1/4), и высоту цилиндра, равную 118.638 / [(118.638 / 2)^(1/4)]^2.
Рекомендуется заключить ответ в округленных значениях, чтобы сделать его понятным для школьников.