ответ: 315000
Объяснение:
Предварительно заметим, что сумма S всех натуральных чисел от 1 до M считается по формуле:
S=M2+M2.
Действительно, последовательность натуральных чисел от 1 до M является арифметической прогрессией с начальным членом 1 и разностью 1. По формуле для суммы членов арифметической прогрессии получаем:
S=2⋅1+1⋅(M−1)2⋅M=M2+M2.
1. Заметим, что если число делится на 2 и 3, то, так как эти числа взаимно просты, это число делится на 6.
2. Найдём сумму всех чисел n, не превосходящих 2100, которые делятся на 2⋅3=6. Все такие числа имеют вид:
n=6⋅m, 1≤m≤350.
Имеем:
6+2⋅6+3⋅6+...+350⋅6=6⋅(1+2+3+...+350)=368550.
3. Все числа, не превосходящие 2100, которые делятся на 6, делятся на 2 типа: те, которые делятся на 7, и те, которые на 7 не делятся. Для того чтобы найти сумму тех чисел, которые не превосходят 2100, делятся на 6, но не делятся на 7, надо вычесть из суммы чисел, кратных 6, сумму чисел, кратных 2⋅3⋅7=42.
4. Найдём сумму чисел, не превосходящих 2100 и кратных 42. Такие числа имеют вид:
42⋅m, 1≤m≤50.
Сумма этих чисел равна
42⋅(1+2+...+50)=53550.
5. Таким образом, искомая сумма чисел равна 368550−53550=315000.
ответ: n=k=1
Объяснение:
a) Простым перебором убеждаемся, что пары n=k=1 и n=3, k=2 являются решением уравнения. Теперь при n≥4 число 1!+...+n! в десятичной записи оканчивается на 3.
Действительно,
1!+2!+3!+4!=33, n=4,
1!+2!+3!+4!+...+n!=33+10k, n≥5,
поскольку n! делится на 10 при n≥5. Но квадрат натурального числа не может в десятичной записи оканчиваться на 3, следовательно, других решений данное уравнение не имеет.
б) Видим, что уравнение имеет решение n=k=1. Далее, при 2≤n≤6 и n=8 число
1!+2!+3!+4!+...+n!
делится на 3, но не делится на 27. Значит, при таких n уравнение не имеет решений. Теперь при n≥9 получаем, что число
1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!+...+n!
делится на 3, но не делится на 27, поскольку n! делится на 27 при n≥9. Следовательно, уравнение не имеет решений при n≥9. Наконец, при n=7 видим, что
1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!=5913,
но это число не является m-й степенью никакого числа.
Получаем, что единственным решением этого уравнения будет n=k=1.
1. k = 3
2. k = 1
3. k = 2\3
4. k = 1\3