Question

Впрогрессии найдите наибольшее возможное значение первого члена, если сумма первых трех членов прогрессии равна 26, а b1+b3=20

Answer 1

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Sn = b₁(q^n - 1)/(q - 1)

Для n = 3:  S₃ = 26

S₃ = b₁(q³ - 1)/(q - 1) = b₁(q² + q + 1)

b₁(q² + q + 1) = 26

Далее..

b₃ = b₁·q²

по условию:b₃ + b₁ = 20, т.е.

b₁·q² + b₁ = 20

или

b₁(q² + 1) = 20

Решим систему уравнений

b₁ = 20/(q² + 1)

20(q² + q + 1) /(q² + 1) = 26

20(q² + q + 1) = 26(q² + 1)

20q² + 20q + 20 = 26q² + 26

6q² - 20q + 6 = 0

3q² - 10q + 3 = 0

D = 100 - 36 = 64

√D = 8

q₁ = (10 - 8):6 = 1/3

q₂ = (10 + 8):6 = 3

При q₁ = 1/3  

b₁ = 20/(1/9 + 1)= 18

При q₂ = 3

b₁ = 20/(9 + 1)= 2

ответ максимально возможное значение 1-го члена геометрической прогрессии

         b₁ = 18

Answer 2

b2=b1*q

b3=b1*q²

b1+b2+b3=b1+(b1+q)+(b1+q²)=b1(1+q+q²)=26

b1+b3=b1(1+q²)=20

Система уравнений с 2-мя неизвестными

b1(1+q+q²)=26

b1(1+q²)=20

Вычесть

b1*q = 6

b1=6/q

(6/q)(1+q²)=20

6q²-20q+6=0

D=400-144=256

q1= ⅓

q2= 3

b1₁=6/⅓=18

b1₂=6/3=2

Наибольшее значение 1-го члена = 18