ДАНО: Y = (x²+9)/x
Исследование.
1. Область определения: D(y)= (-∞;0)∪(0;+∞).
Не допускаем деления на 0 в знаменателе.
2.Поведение в точке разрыва. LimY(0-)= -∞, LimY(0+)= +∞. Вертикальная асимптота - х = 0.
Неустранимый разрыв II-го рода.
3. Поведение на бесконечности - наклонная асимптота.
k = lim(+∞)Y(х)/x = (х²+9)/x² = 1 - коэффициент наклона.
b = 9/x = 0 - наклонная асимптота y = x.
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0 - нет.
5. Пересечение с осью ОУ. Y(0) - нет
6. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;0). Положительна: Y>0 - X∈(0;+∞;)
7. Проверка на чётность.
Функция нечётная: Y(-x) = -Y(x).
8. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) = 2 - (х²+9)/х² = (x²-9)/х² = 0.
Корни уравнения. х = ±√9 = ± 3.
9. Локальные максимумы.
Минимум: Y(3) = 6.5, Максимум: Y(-3) = -6.5
10. Интервалы монотонности.
Возрастает: X∈(-∞;-3)∪(3;+∞)
Убывает: Х∈(-3;0)∪(0;3)
1. Поиск перегибов по второй производной.
y''(x) = 2/x - 2*(x²-9)/x³ = 18/x³ = 0.
Корней нет.
Точки перегиба нет, кроме точки разрыва при Х = 0.
12. Выпуклая - 'горка' - X∈(-∞;0). Вогнутая - 'ложка'- X∈(0;+∞;).
13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).
14. График функции на рисунке в приложении.
Красота.
ответ дан во вложении
Объяснение:
надеюсь всё понятно