Question

ПОДРОБНО→→→→→ОЧЕНЬ ПОДРОБНО→→→→Доказать , что если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то их логарифмы по одному и тому же основанию образуют арифметическую прогрессию сегодня. Завтра сдавать

Answer 1

1)   Пусть  последовательность положительных чисел

              $b_1;$   $b_2;$    $b_3;$    $b_4;$   ...   ;   $b_n$

является геометрической прогрессией, тогда

с формулы общего члена  геометрической прогрессии   $b_n=b_1q^{n-1}$ данную последовательность представим в виде:

          $b_1;$   $b_1q;$     $b_1q^2;$    $b_1q^3;$  ... ;   $b_1q^{n-1}$

2)    Прологарифмируем  по основанию $a$:

$log_ab_1;$    $log_ab_1q;$    $log_ab_1q^2;$    $log_ab_1q^3;$   ...  ;   $log_ab_1q^{n-1}$

3)    Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

   $log_ab_1q=log_ab_1+log_aq;$

   $log_ab_1q^2=log_ab_1+log_aq^2=log_ab_1+2log_aq;$

   $log_ab_1q^3=log_ab_1+log_aq^3=log_ab_1+3log_aq;$

 .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  

  $log_ab_1q^{n-1}=log_ab_1+log_aq^{n-1}=log_ab_1+(n-1)log_aq$

4)    Рассмотрим полученную последовательность:

   $log_ab_1;$     $log_ab_1+log_aq;$    $log_ab_1+2log_aq;$        ... ;    $log_ab_1+(n-1)log_aq$

Очевидно, это арифметическая прогрессия, где

$log_ab_1$    - её первый член

$log_aq$  -  разность этой прогрессии.

Доказано.