Question

Найдите значение выражения n•x0, где n-количество, а x0-наибольший корень (в градусах) уравнения (tgx - 3ctgx)*√cosx = 0 из промежутка [-90°;180°].

Answer 1

$(tg \, x - 3 \, ctg \, x)\cdot \sqrt{\cos{x}}=0 \\ \\ \cos{x}\geq 0 \\ \\ -\frac{\pi}{2}+2\pi n , \ n \in Z \leq x\leq \frac{\pi}{2}+2 \pi n , \ n \in Z \\ \\ tg \, x =\frac{\sin{x}}{\cos{x}}; \ \ \ \cos{x}\neq 0; \ \ \ x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n, \ n\in Z \\ \\ ctg \, x =\frac{\cos{x}}{\sin{x}}; \ \ \sin{x}\neq 0; \ \ \ x\neq \pi n, \ n \in Z$

$tg \, x - 3 \, ctg \, x =0 \\ \\ -tg \, x \cdot (3\, ctg^2 \, x-1)=0 \\ \\ tg\, x =0; \ \ \ \ 3 \, ctg^2 \, x=1 \\ \\ x_1=\pi n , \ n \in Z; \ \ \ ctg^2 \, x =\frac{1}{3} \\ \\ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ctg \, x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \\ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{2,3}=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n.\ n\in Z$

С учётом ОДЗ:

$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, \ n \in Z$

$\sqrt{\cos{x}}=0 \\ \\ \cos{x}=0 \\ \\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n , \ n \in Z$, но по ОДЗ $x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n , \ n\in Z$

$[-90^o; 180^o] \\ \\ \ [-\frac{\pi}{2}; \pi ]$

$x_1=-\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot 0=-\frac{\pi}{3}=-60^o \\ \\ x_2=\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot 0 =\frac{\pi}{3}=60^o$

$n\cdot x_0 = 2\cdot 60^o=120^o$