Question

При каких значениях параметра m квадратичная функция имеет: а) только положительные значения; б) как положительные, так и отрицательные значения? y = (m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + m решите подробно.

Answer 1

А). График функции не должен пересекать ось ОХ (это при D < 0) и ветви должны быть направлены вверх (это старший коэффициент а > 0). Получаем систему:
$\left \{ {{(-2(m+1))^{2}-4*(m-1)*m < 0} \atop {m-1 0}} \right.$
$\left \{ {{4(m+1)^{2}-4m(m-1) < 0} \atop {m 1}} \right.$
$\left \{ {{(m+1)^{2}-m(m-1) < 0} \atop {m 1}} \right.$
$\left \{ {{m^{2}+2m+1-m^{2}+m < 0} \atop {m 1}} \right.$
$\left \{ {{3m< -1} \atop {m 1}} \right.$
$\left \{ {{m < -\frac{1}{3}} \atop {m 1}} \right.$
Система не имеет решений, значит, таких значений m не существует.

б). График функции должен пересекать ось ОХ (т.е. D > 0).
$(-2(m+1))^{2}-4*(m-1)*m 0$
$4(m+1)^{2}-4m(m-1) 0$
$m^{2}+2m+1-m^{2}+m 0$
$3m -1$
$m - \frac{1}{3}$
$m \in (- \frac{1}{3}; + \infty)$