Question

Докажите, что ординаты точек графика у=0,3х+1, имеющих абциссами натуральные числа от 1 до 10, составляют арифметическую прогрессию. найдите ее сумму

Answer 1

Последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда выполняется условие: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$. в нашем случае:

a(n)= 0,3x(n)+1

a(n-1)=0,3x(n-1)+1

a(n+1)=0,3x(n+1)+1 

Докажем что у нас выполняется требуемое условие:

$0,3x_n+1=\frac{0,3x_{n-1}+1+0,3x_{n+1}+1}{2}=\frac{3}{10}\frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n+1})+1$ 

$x_n=\frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n+1})$ 

К этому свелось наше равенство. Если мы докажем, что $x_n$ арифметическая прогрессия, то мы докажем что  $y_n$  арифметическая прогрессия. 

Поскольку  $x_n$ у нас является натуральными числами от 1 до 10, то очевидно, что $x_n$ арифметическая прогрессия. $x_{10}=10=\frac{x_{9}+x{11}}{2}=\frac{9+11}{2}=10$. 

Итак мы доказали, что $y_n$ арифметическая прогрессия. найдем ее сумму. По формуле: $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n$

Получаем:

 $S_{10}=\frac{y_1+y_{10}}{2}10=(1,3+4)5=26,5$

ответ:   $S_{10}=26,5$