Question

не могу понять, как делать?

Answer 1

Answer 2

$x^4-2x^3+3x^2-4x+2$

Если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 2 (свободный коэффициент), то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2.

$(-1)^4-2\cdot(-1)^3+3\cdot (-1)^2-4\cdot (-1)+2 =1+2+3+4+2=12\neq 0 \\ \\ 1^4-2\cdot 1^3+3\cdot 1^2-4\cdot 1+2 =1-2+3-4+2=0$

Разделим многочлен на (x-1) - см. фото

$x^4-2x^3+3x^2-4x+2=(x-1)\cdot (x^3-x^2+2x-2)$

$(x-1)\cdot (x^3-x^2+2x-2)=(x-1)\cdot ((x^3-x^2)+(2x-2))=\\ \\ =(x-1)\cdot (x^2\cdot (x-1)+2\cdot (x-1))=(x-1)\cdot (x-1)\cdot (x^2+2)$

$(\frac{4x^2+8}{x^4-2x^3+3x^2-4x+2}-\frac{4-x^2}{(x-1)^2})\cdot (1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2})=(\frac{4\cdot (x^2+2)}{(x-1)\cdot (x-1)\cdot (x^2+2)}-\frac{4-x^2}{(x-1)^2})\cdot (\frac{x^2-2x+1}{x^2})=\\ \\ =(\frac{4}{(x-1)^2}-\frac{4-x^2}{(x-1)^2})\cdot \frac{(x-1)^2}{x^2}=\frac{4-4+x^2}{(x-1)^2}\cdot \frac{(x-1)^2}{x^2}=\frac{x^2}{x^2}=1$