Question

Знайти найбільше і найменше значення функції f(х) = 2x^3/3 – 8х на проміжку [0;3]

Answer 1

Щоб знайти найбільше та найменьше значення функції нам отрібено знайти її екстремуми, та значення функції  у них та кінцях заданого інтервалу

Знвйдемо похіднуфункції

f'(x)=(x^3-3x^2)'=3x^2-6xf′(x)=(x3−3x2)′=3x2−6x

Прирівнюємо похідну к нолю та розвязуємо рівняння

\begin{gathered}3x^2-6x=0\\3x(x-2)=0\\3x=0=\ \textgreater \ x=0\\x-2=0=\ \textgreater \ x=2\end{gathered}3x2−6x=03x(x−2)=03x=0= \textgreater x=0x−2=0= \textgreater x=2

Отримали дві точки: 0 та 2, Накреслити ось Ох, відітити на ній точки 0 та 2, в наслідок чого, ця ось поділиться на три поміжка

1. (- неск;0), 2. [0;2], 3.(2; неск)

Пперевіримо знак похідної на кожному з цих проміжків

1. (- неск;0)  -1:3*(-1)^2-6*(-1)=,3*1+6=3+6=9, >0

2. [0;2],          1:  3*1^2-6*1=,3-6=-3,                    <0

3.(2; неск)      3: 3*3^2-6*3=,3*9-18=27-18=9,   >0

Отже юбачимо що точки 0 та 2 є очками екстремуму функції, тепер щоб знайти найбільше та найменше значення подставимо ці точки та кінці проміжку, на якому виконумо обічисленя, у функцію та зннайдемо її значення

\begin{gathered}f(0)=0^3-3*0^2=0-3*0=0\\f(2)=2^3-3*2^2=8-3*4=8-12=-4\\f(3)=3^3-3*3^2=27-3*9=27-27=0\\min_{f(x)}=f(2)=-4, max_{f(x)}=f(0)Uf(3) =0\end{gathered}f(0)=03−3∗02=0−3∗0=0f(2)=23−3∗22=8−3∗4=8−12=−4f(3)=33−3∗32=27−3∗9=27−27=0minf(x)=f(2)=−4,maxf(x)=f(0)Uf(3)=0

Відповідь: найбільше значення функції знаходиться в точках х=0, та х=3 й дорівнює 0, а найменьше значення функції знаходиться в точці х=2 й дорівнює -4