Question

Вычислить длины дуг кривых ! Под буквой в!

Answer 1

${}\rho =5\cdot e^{\frac{5}{12}\varphi }\ \ ,\ \ \ 0\leq \varphi \leq \dfrac{\pi}{3}\\\\l=\int\limits^{\alpha }_{\beta }\, \sqrt{\rho^2+(\rho ')^2}\, d\varphi \\\\\rho '=5\cdot e^{\frac{5}{12}\varphi }\cdot \dfrac{5}{12}=\dfrac{25}{12}\cdot e^{\frac{5}{12}\varphi }\\\\l=\int\limits^{\pi /3}_0\, \sqrt{25\cdot e^{\frac{5}{6}\varphi }+\dfrac{625}{144}\cdot e^{\frac{5}{6}\varphi } }\cdot d\varphi =\int\limits^{\pi /3}_0\, \sqrt{\dfrac{25\cdot 144+625}{144}\cdot e^{\frac{5}{6}\varphi }}\, d\varphi =$

$=\int\limits_0^{\pi /3}\dfrac{65}{12}\cdot e^{\frac{5}{6}\varphi }\, d\varphi =\dfrac{65}{12}\cdot \dfrac{6}{5}\cdot e^{\frac{5}{6}\varphi }\Big|_0^{\pi /3}=\dfrac{13}{2}\cdot (e^{\frac{5\pi}{18}}-1)=6,5\cdot (e^{\frac{5\pi}{18}}-1)$