Question

Решить систему уравнений тремя (методом крамера, методом обратной матрицы и методом жордана-гаусса): x+2y=10 3x+2y+z=23 y+2z=13

Answer 1

Метод Крамера.

$\Delta =\left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\3&2&1\\0&1&2\end{array}\right]=-9$

$\Delta_1=\left[\begin{array}{ccc}10&2&0\\23&2&1\\13&1&2\end{array}\right]=-36$

$\Delta_2=\left[\begin{array}{ccc}1&10&0\\3&23&1\\0&13&2\end{array}\right]=-27$

$\Delta_3 =\left[\begin{array}{ccc}1&2&10\\3&2&23\\0&1&13\end{array}\right]=-45$

$x=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{-36}{-9}=4; y=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{-27}{-9}=3; z=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-45}{-9}=5;$

Метод Жордана-Гаусса.

$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&10\\3&2&1&23\\0&1&2&13\end{array}\right)= \\ \left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&10\\0&-4&1&-7\\0&1&2&13\end{array}\right)= \\ \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-4&-16\\0&1&2&13\\0&0&9&45\end{array}\right)= \\ \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-4&-16\\0&1&2&13\\0&0&1&5\end{array}\right)= \\ \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&4\\0&1&0&3\\0&0&1&5\end{array}\right)= \\$

x=4, y=3, z=5

Матричный метод.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&0\\3&2&1\\0&1&2\end{array}\right), \Delta A=-9, B=\left(\begin{array}{c}10&23&13\end{array}\right)$

$A^{-1}=-\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}3&-4&2\\-6&2&-1\\3&-1&-4\end{array}\right)$

$-\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}3&-4&2\\-6&2&-1\\3&-1&-4\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}10&23&13\end{array}\right)=-\frac{1}{9}\left(\begin{array}{c}-36\\-27\\-45\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\3\\5\end{array}\right)$