1) Чтобы найти сонаправленные векторы, нам нужно узнать, когда у двух векторов направления совпадают, а для противоположно направленных - когда у них направления противоположны. Для определения направления вектора необходимо рассмотреть его координаты.
Поэтому, чтобы определить, сонаправленные ли или противоположно направленные векторы m, n, p, и k, воспользуемся следующими соображениями:
- Если координаты векторов имеют одинаковые знаки, то векторы сонаправлены.
- Если координаты векторов имеют разные знаки, то векторы противоположно направлены.
Теперь рассмотрим каждую пару векторов:
a) m и n:
Для вектора m(4, -3) обе координаты положительны, а для вектора n(-8, 6) - одна координата отрицательна, другая - положительна. Следовательно, векторы m и n противоположно направлены.
b) m и p:
Для обоих векторов m(4, -3) и p(12, -9) обе координаты положительны. Следовательно, векторы m и p сонаправлены.
c) m и k:
Для вектора m(4, -3) обе координаты положительны, а для вектора k(-0,8, 0,6) - обе координаты отрицательны. Следовательно, векторы m и k противоположно направлены.
2) Чтобы узнать, коллинеарны ли векторы a(n, -8) и b(-4, -2), необходимо проверить, можно ли пропорционально (с определенным коэффициентом) умножить один вектор на другой и получить вектор b.
Поэтому, мы можем написать следующее уравнение:
a = bn, где a(n, -8) и b(-4, -2).
Разделим обе стороны этого уравнения на коэффициент n:
(n, -8) = (-4, -2) / n.
Теперь сравним соответствующие координаты:
n = -4 / n и -8 = -2 / n.
Перемножим обе части второго уравнения:
-8n = -2.
Разделим обе стороны полученного уравнения на -8:
n = -2 / -8.
Упростим дробь:
n = 1 / 4.
Если n равно 1/4, то векторы a и b коллинеарны.
3) Чтобы найти вектор, сонаправленный с данным вектором, нам нужно умножить его на любое число. То есть умножим векторы на неизвестное число x и найдем координаты полученного вектора.
a) Для вектора a(-6, 8) мы можем сказать, что он коллинеарен вектору b, так как их направления совпадают. Теперь умножим a на неизвестное число x:
(-6x, 8x).
Модуль этого вектора (его длина) равен 1, поэтому мы можем написать уравнение для нахождения x:
√((-6x)^2 + (8x)^2) = 1.
Раскроем скобки внутри квадратного корня:
√(36x^2 + 64x^2) = 1.
Сложим подобные члены:
√(100x^2) = 1.
Упростим выражение:
10x = 1.
Разделим обе стороны на 10:
x = 1 / 10.
Подставим полученное значение x в выражение для координат вектора a:
(-6 * (1 / 10), 8 * (1 / 10)) = (-6/10, 8/10) = (-0.6, 0.8).
Поэтому координаты вектора, сонаправленного с вектором a(-6, 8) и имеющего модуль 1, равны (-0.6, 0.8).
b) Для вектора b(8, -15) мы также можем сказать, что он коллинеарен вектору p. Умножим b на неизвестное число x:
(8x, -15x).
Теперь составим уравнение для нахождения x, используя модуль вектора:
√((8x)^2 + (-15x)^2) = 1.
Раскроем скобки внутри квадратного корня:
√(64x^2 + 225x^2) = 1.
Сложим подобные члены:
√(289x^2) = 1.
Упростим выражение:
17x = 1.
Разделим обе стороны на 17:
x = 1 / 17.
Подставим полученное значение x в выражение для координат вектора b:
(8 * (1 / 17), -15 * (1 / 17)) = (8/17, -15/17).
Поэтому координаты вектора, сонаправленного с вектором b(8, -15) и имеющего модуль 1, равны (8/17, -15/17).
c) Для вектора c(p, -k) мы уже знаем, что он сонаправлен с векторами m и n, поэтому умножим его на неизвестное число x:
(px, -kx).
Модуль этого вектора равен 1, поэтому мы можем записать уравнение:
√((px)^2 + (-kx)^2) = 1.
Раскроем скобки внутри квадратного корня:
√(p^2x^2 + k^2x^2) = 1.
Сложим подобные члены:
√((p^2 + k^2)x^2) = 1.
Упростим выражение:
√((p^2 + k^2)x^2) = 1.
Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:
(p^2 + k^2)x^2 = 1.
Разделим обе стороны на (p^2 + k^2):
x^2 = 1 / (p^2 + k^2).
Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
x = ±√(1 / (p^2 + k^2)).
Теперь, если мы подставим полученное значение x в выражение для координат вектора c, получим:
(p * ±√(1 / (p^2 + k^2)), -k * ±√(1 / (p^2 + k^2))).
Поэтому координаты вектора, сонаправленного с вектором c(p, -k) и имеющего модуль 1, равны (p * ±√(1 / (p^2 + k^2)), -k * ±√(1 / (p^2 + k^2))).
4) Чтобы найти вектор c, коллинеарный вектору p(12, -5), и имеющий модуль 26, мы можем использовать следующее уравнение:
c = kp, где |c| = 26 и p(12, -5).
Умножим вектор p на неизвестное число k:
(k * 12, -5k).
Модуль этого вектора равен 26, поэтому мы можем записать уравнение:
√((k * 12)^2 + (-5k)^2) = 26.
Раскроем скобки внутри квадратного корня:
√(144k^2 + 25k^2) = 26.
Сложим подобные члены:
√(169k^2) = 26.
Упростим выражение:
13k = 26.
Разделим обе стороны на 13:
k = 26 / 13.
Подставим полученное значение k в выражение для координат вектора c:
((26 / 13) * 12, -(26 / 13) * 5) = (24, -10).
Поэтому координаты вектора c, коллинеарного вектору p(12, -5), и имеющего модуль 26, равны (24, -10).
Функция s=70t описывает зависимость между расстоянием (s) и временем (t). Здесь переменная t представляет собой время в некоторых единицах измерения (например, часы), а переменная s - соответствующее расстояние в других единицах измерения (например, километры).
Формула s=70t указывает, что расстояние s равно произведению значения времени t на коэффициент 70. То есть, если мы знаем значение времени t, мы можем вычислить расстояние s, умножив значение времени на 70.
Например, если у нас есть значение времени t=2 часа, мы можем найти соответствующее расстояние s, подставив это значение в формулу:
s=70*2=140
Итак, при значении времени t=2 часа, расстояние s будет равно 140 километрам.
Формула s=70t удобна для решения различных задач, связанных с перемещением в пространстве. Она позволяет нам вычислить расстояние на основе известного значения времени и коэффициента пропорциональности между расстоянием и временем.
Поэтому, чтобы определить, сонаправленные ли или противоположно направленные векторы m, n, p, и k, воспользуемся следующими соображениями:
- Если координаты векторов имеют одинаковые знаки, то векторы сонаправлены.
- Если координаты векторов имеют разные знаки, то векторы противоположно направлены.
Теперь рассмотрим каждую пару векторов:
a) m и n:
Для вектора m(4, -3) обе координаты положительны, а для вектора n(-8, 6) - одна координата отрицательна, другая - положительна. Следовательно, векторы m и n противоположно направлены.
b) m и p:
Для обоих векторов m(4, -3) и p(12, -9) обе координаты положительны. Следовательно, векторы m и p сонаправлены.
c) m и k:
Для вектора m(4, -3) обе координаты положительны, а для вектора k(-0,8, 0,6) - обе координаты отрицательны. Следовательно, векторы m и k противоположно направлены.
2) Чтобы узнать, коллинеарны ли векторы a(n, -8) и b(-4, -2), необходимо проверить, можно ли пропорционально (с определенным коэффициентом) умножить один вектор на другой и получить вектор b.
Поэтому, мы можем написать следующее уравнение:
a = bn, где a(n, -8) и b(-4, -2).
Разделим обе стороны этого уравнения на коэффициент n:
(n, -8) = (-4, -2) / n.
Теперь сравним соответствующие координаты:
n = -4 / n и -8 = -2 / n.
Перемножим обе части второго уравнения:
-8n = -2.
Разделим обе стороны полученного уравнения на -8:
n = -2 / -8.
Упростим дробь:
n = 1 / 4.
Если n равно 1/4, то векторы a и b коллинеарны.
3) Чтобы найти вектор, сонаправленный с данным вектором, нам нужно умножить его на любое число. То есть умножим векторы на неизвестное число x и найдем координаты полученного вектора.
a) Для вектора a(-6, 8) мы можем сказать, что он коллинеарен вектору b, так как их направления совпадают. Теперь умножим a на неизвестное число x:
(-6x, 8x).
Модуль этого вектора (его длина) равен 1, поэтому мы можем написать уравнение для нахождения x:
√((-6x)^2 + (8x)^2) = 1.
Раскроем скобки внутри квадратного корня:
√(36x^2 + 64x^2) = 1.
Сложим подобные члены:
√(100x^2) = 1.
Упростим выражение:
10x = 1.
Разделим обе стороны на 10:
x = 1 / 10.
Подставим полученное значение x в выражение для координат вектора a:
(-6 * (1 / 10), 8 * (1 / 10)) = (-6/10, 8/10) = (-0.6, 0.8).
Поэтому координаты вектора, сонаправленного с вектором a(-6, 8) и имеющего модуль 1, равны (-0.6, 0.8).
b) Для вектора b(8, -15) мы также можем сказать, что он коллинеарен вектору p. Умножим b на неизвестное число x:
(8x, -15x).
Теперь составим уравнение для нахождения x, используя модуль вектора:
√((8x)^2 + (-15x)^2) = 1.
Раскроем скобки внутри квадратного корня:
√(64x^2 + 225x^2) = 1.
Сложим подобные члены:
√(289x^2) = 1.
Упростим выражение:
17x = 1.
Разделим обе стороны на 17:
x = 1 / 17.
Подставим полученное значение x в выражение для координат вектора b:
(8 * (1 / 17), -15 * (1 / 17)) = (8/17, -15/17).
Поэтому координаты вектора, сонаправленного с вектором b(8, -15) и имеющего модуль 1, равны (8/17, -15/17).
c) Для вектора c(p, -k) мы уже знаем, что он сонаправлен с векторами m и n, поэтому умножим его на неизвестное число x:
(px, -kx).
Модуль этого вектора равен 1, поэтому мы можем записать уравнение:
√((px)^2 + (-kx)^2) = 1.
Раскроем скобки внутри квадратного корня:
√(p^2x^2 + k^2x^2) = 1.
Сложим подобные члены:
√((p^2 + k^2)x^2) = 1.
Упростим выражение:
√((p^2 + k^2)x^2) = 1.
Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:
(p^2 + k^2)x^2 = 1.
Разделим обе стороны на (p^2 + k^2):
x^2 = 1 / (p^2 + k^2).
Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
x = ±√(1 / (p^2 + k^2)).
Теперь, если мы подставим полученное значение x в выражение для координат вектора c, получим:
(p * ±√(1 / (p^2 + k^2)), -k * ±√(1 / (p^2 + k^2))).
Поэтому координаты вектора, сонаправленного с вектором c(p, -k) и имеющего модуль 1, равны (p * ±√(1 / (p^2 + k^2)), -k * ±√(1 / (p^2 + k^2))).
4) Чтобы найти вектор c, коллинеарный вектору p(12, -5), и имеющий модуль 26, мы можем использовать следующее уравнение:
c = kp, где |c| = 26 и p(12, -5).
Умножим вектор p на неизвестное число k:
(k * 12, -5k).
Модуль этого вектора равен 26, поэтому мы можем записать уравнение:
√((k * 12)^2 + (-5k)^2) = 26.
Раскроем скобки внутри квадратного корня:
√(144k^2 + 25k^2) = 26.
Сложим подобные члены:
√(169k^2) = 26.
Упростим выражение:
13k = 26.
Разделим обе стороны на 13:
k = 26 / 13.
Подставим полученное значение k в выражение для координат вектора c:
((26 / 13) * 12, -(26 / 13) * 5) = (24, -10).
Поэтому координаты вектора c, коллинеарного вектору p(12, -5), и имеющего модуль 26, равны (24, -10).