Question

Нужно решить все эти задачи,

Answer 1

51

а

$\int\limits \frac{1}{2} \sin {}^{2} ( \frac{y}{2} ) dy = \frac{1}{2} \int\limits \sin {}^{2} ( \frac{y}{2} ) dy = \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{1 - \cos(y) }{2} dy = \frac{1}{4} (1 - \cos(y)dy = \\ = \frac{y}{4} - \frac{ \sin(y) }{4} + C$

б

$\int\limits \frac{ \cos {}^{2} (x) }{1 - \sin(x) } dx = \int\limits \frac{1 - \sin {}^{2} (x) }{ 1 - \sin(x) } dx = \\ = \int\limits \frac{(1 - \sin(x)) (1 + \sin(x)) }{1 - \sin(x) } dx = \\ = \int\limits(1 + \sin(x)) dx = x - \cos(x) + C$

в

$\int\limits \frac{dx}{tg \frac{x}{2} + ctg \frac{x}{2} } = \int\limits \frac{dx}{tg \frac{x}{2} + \frac{1}{tg \frac{x}{2} } } = \\ = \int\limits \frac{tg \frac{x}{2} dx}{1 + {tg}^{2} \frac{x}{2} } = \int\limits \frac{tg \frac{x}{2} dx}{ \frac{1}{ \cos {}^{2} ( \frac{x}{2} ) } } = \\ = \int\limits \frac{ \sin( \frac{x}{2} ) }{ \cos( \frac{x}{2} ) } \times \cos {}^{2} ( \frac{x}{2} ) dx = \\ = \int\limits \sin( \frac{x}{2} ) \cos( \frac{x}{2} ) dx = \frac{1}{2} \int\limits2 \sin( \frac{x}{2} ) \cos( \frac{x}{2} ) dx = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \sin(x) dx = - \frac{1}{2} \cos(x) + C$

г

$\int\limits \frac{ \cos {}^{2} (\phi) + 2\cos(\phi) - 3 }{ 3+ \cos(\phi) } d\phi = \int\limits \frac{ (3 + \cos(\phi))( \cos(\phi) - 1) }{3 + \cos(\phi) } d\phi = \\ = \int\limits( \cos(\phi) - 1)d\phi = \sin(\phi) - \phi + C$

52

а

$\int\limits {(x + 3)}^{7} dx = \int\limits {(x + 3)}^{7} d(x + 3) = \frac{ {(x + 3)}^{8} }{8} + C \\$

б

$\int\limits \sqrt{x - 3} dx = \int\limits {(x - 3)}^{ \frac{1}{2} } d(x - 3) = \\ = \frac{ {(x - 3)}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } + C = \frac{2}{3} \sqrt{ {(x - 3)}^{3} } + C$

в

$\int\limits \frac{5dx}{x + 1} = 5\int\limits \frac{d(x + 1)}{x + 1} = 5 ln( |x + 1| ) + C \\$

г

$\int\limits \frac{dy}{ {(y - 3)}^{10} } = \int\limits {(y - 3)}^{ - 10} d(y - 3) = \\ = \frac{ {(y - 3)}^{ - 9} }{ - 9} + C= - \frac{1}{9 {( y- 3)}^{9} } + C$

53

а

$\int\limits \frac{dx}{1 + 4 {x}^{2} } = \int\limits \frac{dx}{1 + {(2x)}^{2} } = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(2x)}{ {(2x)}^{2} + {1}^{2} } = \frac{1}{2} arctg(2x) + C$

б

$\int\limits \frac{dy}{ \sqrt{9 - 4 {y}^{2} } } = \int\limits \frac{dy}{ \sqrt{ {3}^{2} - {(2y)}^{2} } } = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(2y)}{ \sqrt{ {3}^{2} - {(2y)}^{2} } } = \frac{1}{2} arcsin( \frac{2y}{3}) + C$

в

$\int\limits \frac{dx}{ 6\sin {}^{2} (2 - x) } = - \frac{1}{6} \int\limits \frac{d(2 - x)}{ \sin {}^{2} (2 - x) } = \\ = \frac{1}{6} ctg(2 - x) + C$

г

$\int\limits \frac{dy}{ \sqrt{9 {y}^{2} - 4 } } = \int\limits \frac{dy}{ \sqrt{ {(3y)}^{2} - {2}^{2} } } = \\ = \frac{1}{3} \int\limits \frac{d(3y)}{ \sqrt{ {(3y)}^{2} - {2}^{2} } } = \frac{1}{3} ln( |3y + \sqrt{9 {y}^{2} - 4 } | ) + C$

54

а

$\int\limits \sin(2x) \cos(2x) dx = \frac{1}{2} \int\limits2 \sin(2x) \cos(2x) dx = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \sin(4x) dx = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \int\limits \sin(4x) d(4x) = \\ = - \frac{1}{8} \cos(8x) + C$

б

$\int\limits \sin( \frac{x}{3} ) \cos( \frac{x}{3} ) dx = \frac{1}{2} \int\limits2 \sin( \frac{x}{3} ) \cos( \frac{x}{3} ) dx = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \sin( \frac{2x}{3} ) dx = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \int\limits) \sin( \frac{2x}{3} ) d( \frac{2x}{3} ) = \\ = - \frac{3}{4} \cos( \frac{2x}{3} ) + C$

в

$\int\limits( \sin(3 \gamma ) + \cos( 3\gamma ) ) {}^{2} d \gamma = \\ = \int\limits( \sin {}^{2} (3 \gamma ) + 2\sin( 3\gamma ) \cos( 3\gamma ) + \cos {}^{2} ( 3\gamma ) ) d\gamma = \\ = \int\limits(1 + \sin( 6\gamma ) ) d\gamma = \gamma + \frac{1}{6} \int\limits \sin( 6\gamma ) d(6\gamma ) = \\ = \gamma - \frac{1}{6} \cos( 6\gamma ) + C$

г

$\int\limits \cos {}^{2} (x) dx = \int\limits \frac{1 + \cos(2x) }{2} dx = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \: dx + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \int\limits \cos(2x) d(2x) = \\ = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin(2x) + C$