Question

Постройте график функции y=x|x| + |x| – 5х
Определите, при каких значениях m прямая у=m имеет с графиком ровно две общие
точки ​

Answer 1

Объяснение:

$y=x|x| + |x| – 5x \\ y = \begin{cases} {x}^{2} + x - 5x = {x}^{2} - 4x; \:\:x \geqslant 0 \\ - {x}^{2} - x - 5x; \:\:x < 0 \end{cases} \\ y = \begin{cases} {x}^{2} - 4x; \:\:x \geqslant 0 \\ - {x}^{2} - 6x; \:\:x < 0 \end{cases}$

$y=x|x| + |x| – 5x \\ y = \begin{cases} {x}^{2} + x - 5x = {x}^{2} - 4x; \:\:x \geqslant 0 \\ - {x}^{2} - x - 5x; \:\:x < 0 \end{cases} \\ y = \begin{cases} {x}^{2} - 4x; \:\:x \geqslant 0 \\ - {x}^{2} - 6x; \:\:x < 0 \end{cases}$

График ф-ии см. на рис.

Как видно из графика, только 2 общих точки с графиком прямой

у = m

имеются в точках экстремума ф-ии.

Найдем их:

$y = \begin{cases} {x}^{2} - 4x; \:\:x \geqslant 0 \\ - {x}^{2} - 6x; \:\:x < 0 \end{cases} \\ y' = \begin{cases} ({x}^{2} - 4x)'; \:\:x \geqslant 0 \\ (- {x}^{2} - 6x)'; \:\:x < 0 \end{cases}\\ y' = \begin{cases} 2{x}- 4; \:\:x \geqslant 0 \\ - 2{x}- 6; \:\:x < 0 \end{cases} \\ y' = 0 < = \begin{cases} 2{x}- 4 = 0; \:\:x \geqslant 0 \\ - 2{x}- 6 = 0; \:\:x < 0 \end{cases} \\ y' = 0 < = \begin{cases} x = 2; \:\:x \geqslant 0 \\ x = - 3; \:\:x < 0 \end{cases} \\$

Найдем значение у в точках экстремума

$\small{y( - 3) ={ - } ({ - 3})^{2}{ - }6 {\times} ( - 3) {= }18{ - }9 = 9} \\ \small{y( 2) =2^{2}{ - }4 {\times} 2 = 4{ - }8= { - 4}} \\$

Соответственно, искомые значения m:

m = 9

m = -4