Question

Найдите площадь фигуры, ограниченную параболой $y=2x-x^2$, касательной, проведённой к данной параболе в точке с абциссой $x_{0} =2$, и осью ординат.

Answer 1

$y = 2x - {x}^{2}$

$f(x) = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$

$x_0 = 2$

$y(2) = 4 - 4 = 0$

$y '= 2 - 2x$

$y(2) = 2 - 4 = - 2$

$f(x) = 0 - 2(x - 2) = - 2x + 4$

- уравнение касательной

_______________

$y_1 = 2x - {x}^{2} \\ y_2 = - 2x + 4$

рисунок

$S = S_1 - S_2$

$S= \int\limits^{ 2} _ {0}( - 2x + 4)dx - \int\limits^{ 2} _ {0}(2x - {x}^{2}) dx = \\ = \int\limits^{2 } _ {0}( - 2x + 4 - 2x + {x}^{2})dx \int\limits^{ 2} _ {0}( {x}^{2} - 4x + 4) dx = \\ = \int\limits^{ 2 } _ {0}(x - 2) {}^{2}d(x - 2) = \frac{ {(x - 2)}^{3} }{3} | ^{ 2 } _ {0} = \\ = 0 - ( - \frac{8}{3} ) = \frac{8}{3}$

ответ: 8/3