Question

Найти общее решение дифференциальных уравнений !​

Answer 1

a)

$y '= {e}^{ {x}^{2} } \times x(1 - {y}^{2} ) \\ \frac{dy}{dx} = e {}^{ {x}^{2} } \times x(1 - {y}^{2} ) \\ \int\limits \frac{dy}{1 - {y}^{2} } = \int\limits {e}^{ {x}^{2} } xdx \\ \frac{1}{2} ln( | \frac{1 - y}{1 + y} | ) = \frac{1}{2} \int\limits {e}^{ {x}^{2} } \times 2x dx \\$

сразу сократим 1/2

$ln( | \frac{1 - y}{1 + y} | ) = \int\limits {e}^{x {}^{2} } d( {x}^{2} ) \\ ln( | \frac{1 - y}{1 + y} | ) = {e}^{ {x}^{2} } + C$

общее решение

б)

$( {x}^{2} - 1)y' - xy = 0 \\ ( {x}^{2} - 1) \frac{dy}{dx} = xy \\ \int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits \frac{xdx}{ {x}^{2} - 1} \\ ln( |y| ) = \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{ {x}^{2} - 1} \\ ln( |y| ) = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} - 1)}{ {x}^{2} - 1} \\ ln( |y| ) = \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} - 1| ) + ln(C) \\ ln( |y| ) = ln(C \sqrt{ {x}^{2} - 1 } ) \\ y = C \sqrt{ {x}^{2} - 1}$

общее решение

в)

$ydx + (2 \sqrt{xy} - x)dy = 0 \\ | \div x \\ \frac{y}{x} dx + (2 \sqrt{ \frac{y}{x} } - 1)dy = 0 \\ (2 \sqrt{ \frac{y}{x} } - 1)y' = - \frac{y}{x} \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ (2 \sqrt{u} - 1)(u'x + u) = - u \\ ux + u = - \frac{u}{2 \sqrt{u} - 1} \\ u'x = \frac{ - u - u(2 \sqrt{u} - 1)}{2 \sqrt{u} - 1 } \\ \frac{du}{dx} x = \frac{ - u - 2u \sqrt{u} + u }{2 \sqrt{u} - 1} \\ \frac{du}{dx} x = - \frac{2 u\sqrt{u} }{2 \sqrt{u} - 1 } \\ \int\limits \frac{2 \sqrt{u} - 1}{2 u\sqrt{u} } du = - \int\limits\frac{1}{x} dx \\ \int\limits( \frac{2 \sqrt{u} }{2u \sqrt{u} } - \frac{1}{2 u\sqrt{u} } )du = -ln(x) + C \\ \int\limits( \frac{1}{u} - \frac{1}{2} {u}^{ - \frac{3} {2} } )du = - ln(x) + C \\ ln(u) - \frac{1}{2} \times \frac{ {u}^{ - \frac{1}{2} } }{( - \frac{1}{2}) } = -ln(x) + C \\ ln(u) + \frac{1}{ \sqrt{u} } = - ln(x) + C \\ ln( \frac{y}{x} ) + \sqrt{ \frac{x}{y} } = - ln(x) + C$

общее решение