Задание можно переформулировать так: при каких значениях параметра a уравнение (ctg²x+6)/(4ctgx+2)=a не имеет решений. ОДЗ: ctgx≠-1/2 ctg²x+6=a(4ctgx+2) ctg²x-4a*ctgx+6-2a=0 ctgx=t t²-4at+6-2a=0 D=16a²-4(6-2a)=16a²+8a-24 Для того чтобы квадратное уравнение не имело решений дискриминант должен быть отрицателен: 16a²+8a-24<0 a∈(-3/2; 1) Это не полное решение. Теперь нужно проверить будет ли t=-1/2 - корень не попадающий в одз- решением уравнения при каких нибудь a, ведь если этот корень будет еще и единственным, то такие а нам подходят. Для этого просто подставляем в уравнение -1/2 вместо t и убеждаемся что такого не будет, а значит этот случай далее рассматривать не надо. ответ: -3/2<a<1
Легко видеть,что х=1,у=1 -решение системы. Покажем, что других решений нет. Пусть х и у одного знака и не равны 0. Тогда понятно, что первое уравнение имеет 1 целочисленный корень (все слагаемые положительны).
Преобразуем первое уравнение: x^2+(x+0,5у)^2-0,25у^2+9y^2=12 x^2+(x+0,5у)^2+8,75y^2=12
Очевидно, что если х или у равен 1,или -1, то значение другой переменной не может быть по модулю больше 1. Первому уравнению удовлетворяет пара х=-1,у=-1, но она не удовлетворяет второму уравнению. Остается проверить х=0 или у=0 и убедиться, что таких решений нет.
ОДЗ: ctgx≠-1/2
ctg²x+6=a(4ctgx+2)
ctg²x-4a*ctgx+6-2a=0
ctgx=t
t²-4at+6-2a=0
D=16a²-4(6-2a)=16a²+8a-24
Для того чтобы квадратное уравнение не имело решений дискриминант должен быть отрицателен:
16a²+8a-24<0
a∈(-3/2; 1)
Это не полное решение. Теперь нужно проверить будет ли t=-1/2 - корень не попадающий в одз- решением уравнения при каких нибудь a, ведь если этот корень будет еще и единственным, то такие а нам подходят. Для этого просто подставляем в уравнение -1/2 вместо t и убеждаемся что такого не будет, а значит этот случай далее рассматривать не надо.
ответ: -3/2<a<1