Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.
Итак, у нас есть уравнение Ydx + (2√xy - x)dy = 0. Наша цель - найти общее решение данного уравнения.
Шаг 1: Разделим уравнение на dx, чтобы получить удобную форму записи:
Y + (2√xy - x)dy/dx = 0.
Шаг 2: Теперь давайте переместим dy/dx в другую сторону:
(2√xy - x)dy/dx = -Y.
Шаг 3: Разделим обе части на (2√xy - x):
dy/dx = -Y / (2√xy - x).
Шаг 4: Теперь переместим dx в другую сторону:
dx = - (2√xy - x)/Y dy.
Шаг 5: Общее решение этого дифференциального уравнения можно найти, проинтегрировав обе части по соответствующим переменным. Давайте выполним этот шаг.
Интегрируем обе части уравнения по переменной dx:
∫ dx = ∫ - (2√xy - x)/Y dy.
Интегрирование левой части уравнения:
x = C + ∫ -(2√xy - x)/Y dy,
где C - произвольная постоянная.
Шаг 6: Теперь важно интегрировать правую часть уравнения. Заметим, что у нас есть составная функция √xy, поэтому нам нужно использовать подстановку.
Давайте представим √xy как одну переменную и обозначим ее как u. Тогда наше уравнение может быть переписано следующим образом:
∫ - (2u^2 - x)/Y du.
Итак, у нас есть уравнение Ydx + (2√xy - x)dy = 0. Наша цель - найти общее решение данного уравнения.
Шаг 1: Разделим уравнение на dx, чтобы получить удобную форму записи:
Y + (2√xy - x)dy/dx = 0.
Шаг 2: Теперь давайте переместим dy/dx в другую сторону:
(2√xy - x)dy/dx = -Y.
Шаг 3: Разделим обе части на (2√xy - x):
dy/dx = -Y / (2√xy - x).
Шаг 4: Теперь переместим dx в другую сторону:
dx = - (2√xy - x)/Y dy.
Шаг 5: Общее решение этого дифференциального уравнения можно найти, проинтегрировав обе части по соответствующим переменным. Давайте выполним этот шаг.
Интегрируем обе части уравнения по переменной dx:
∫ dx = ∫ - (2√xy - x)/Y dy.
Интегрирование левой части уравнения:
x = C + ∫ -(2√xy - x)/Y dy,
где C - произвольная постоянная.
Шаг 6: Теперь важно интегрировать правую часть уравнения. Заметим, что у нас есть составная функция √xy, поэтому нам нужно использовать подстановку.
Давайте представим √xy как одну переменную и обозначим ее как u. Тогда наше уравнение может быть переписано следующим образом:
∫ - (2u^2 - x)/Y du.
Шаг 7: Дифференцируем составную функцию √xy:
du = (1/2)(ydx + xdy).
Шаг 8: Подставим это значение обратно в наше уравнение:
(1/2)(ydx + xdy) = du.
Шаг 9: Заменим ydx на du - xdy:
(1/2)(du - xdy + xdy) = du.
Шаг 10: Упростим уравнение:
(1/2)du = du.
Шаг 11: Интегрируем обе части уравнения:
(1/2)u = u + C,
где C - произвольная постоянная.
Шаг 12: Раскроем скобки и выразим u:
(1/2)√xy = √xy + C.
Шаг 13: Теперь давайте вернемся к переменной x и перепишем уравнение:
(1/2)√xy = √xy + C.
Шаг 14: Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
√xy = 2√xy + 2C.
Шаг 15: Теперь выразим √xy:
√xy = -2C.
Шаг 16: Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
xy = 4C^2.
Итак, общее решение данного дифференциального уравнения - xy = 4C^2, где C - произвольная постоянная.