Для начала, давай посмотрим на графики данных функций, чтобы понять, что изображено на плоскости.
Первая функция у = 6х – х^2 представляет собой параболу, которая открывается вниз. Коэффициенты при х^2 и х говорят о том, что парабола смещена вниз на 6 единиц и открывается вниз.
Вторая функция у = 2х представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат и имеющую положительный наклон (2).
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями, нам нужно найти точки их пересечения. Так как парабола и прямая заданы в виде уравнений, мы можем приравнять их и решить полученное уравнение, чтобы найти х-координаты точек пересечения.
Приравняем 6х – х^2 к 2х:
6х – х^2 = 2х
Теперь объединим все подобные слагаемые:
6х - 2х = х^2
4х = х^2
Мы получили квадратное уравнение. Чтобы решить его, приведем его к стандартному виду:
х^2 - 4х = 0
Факторизуем уравнение:
х(х - 4) = 0
Теперь можно найти значения х:
1. х = 0
2. х - 4 = 0 -> х = 4
Таким образом, мы получили две х-координаты точек пересечения функций: х = 0 и х = 4.
Теперь подставим эти значения х обратно в одно из уравнений для нахождения у-координат точек пересечения. Возьмем уравнение у = 2х:
1. При х = 0: у = 2 * 0 = 0
2. При х = 4: у = 2 * 4 = 8
Таким образом, точки пересечения функций имеют координаты (0, 0) и (4, 8).
Теперь для нахождения площади фигуры, ограниченной этими функциями, нам нужно взять определенный интеграл от одной функции до другой. В данном случае мы берем интеграл от функции у = 2х до функции у = 6х – х^2. Таким образом, площадь фигуры будет равна:
S = ∫(2х - (6х – х^2))dx
Раскроем скобки и выполним интегрирование:
S = ∫(2х - 6х + х^2)dx
S = ∫(x^2 - 4х)dx
Для интегрирования многочлена вида у = ax^n мы используем следующие свойства:
∫ax^n dx = (a/(n+1)) * x^(n+1) + C
Применяем это свойство к нашему уравнению:
S = (1/3)x^3 - 2х^2 + C
Теперь нам нужно найти значение этого интеграла на интервале от х = 0 до х = 4, чтобы получить конечную площадь фигуры.
S = (1/3) * 4^3 - 2 * 4^2 - [(1/3) * 0^3 - 2 * 0^2]
S = (1/3) * 64 - 2 * 16 - 0
S = 64/3 - 32
S = 64/3 - 96/3
S = -32/3
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х – х^2 и у = 2х, равна -32/3 или приблизительно -10.67 квадратных единиц.
Важно знать, что данная площадь отрицательна, потому что в данном случае парабола находится выше прямой и интересующая нас фигура находится под осью х. Это значит, что площадь считается с отрицательным знаком.
Это подробное пошаговое решение должно помочь школьнику понять, как найти площадь фигуры, ограниченной данными функциями.
Для начала, давай посмотрим на графики данных функций, чтобы понять, что изображено на плоскости.
Первая функция у = 6х – х^2 представляет собой параболу, которая открывается вниз. Коэффициенты при х^2 и х говорят о том, что парабола смещена вниз на 6 единиц и открывается вниз.
Вторая функция у = 2х представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат и имеющую положительный наклон (2).
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями, нам нужно найти точки их пересечения. Так как парабола и прямая заданы в виде уравнений, мы можем приравнять их и решить полученное уравнение, чтобы найти х-координаты точек пересечения.
Приравняем 6х – х^2 к 2х:
6х – х^2 = 2х
Теперь объединим все подобные слагаемые:
6х - 2х = х^2
4х = х^2
Мы получили квадратное уравнение. Чтобы решить его, приведем его к стандартному виду:
х^2 - 4х = 0
Факторизуем уравнение:
х(х - 4) = 0
Теперь можно найти значения х:
1. х = 0
2. х - 4 = 0 -> х = 4
Таким образом, мы получили две х-координаты точек пересечения функций: х = 0 и х = 4.
Теперь подставим эти значения х обратно в одно из уравнений для нахождения у-координат точек пересечения. Возьмем уравнение у = 2х:
1. При х = 0: у = 2 * 0 = 0
2. При х = 4: у = 2 * 4 = 8
Таким образом, точки пересечения функций имеют координаты (0, 0) и (4, 8).
Теперь для нахождения площади фигуры, ограниченной этими функциями, нам нужно взять определенный интеграл от одной функции до другой. В данном случае мы берем интеграл от функции у = 2х до функции у = 6х – х^2. Таким образом, площадь фигуры будет равна:
S = ∫(2х - (6х – х^2))dx
Раскроем скобки и выполним интегрирование:
S = ∫(2х - 6х + х^2)dx
S = ∫(x^2 - 4х)dx
Для интегрирования многочлена вида у = ax^n мы используем следующие свойства:
∫ax^n dx = (a/(n+1)) * x^(n+1) + C
Применяем это свойство к нашему уравнению:
S = (1/3)x^3 - 2х^2 + C
Теперь нам нужно найти значение этого интеграла на интервале от х = 0 до х = 4, чтобы получить конечную площадь фигуры.
S = (1/3) * 4^3 - 2 * 4^2 - [(1/3) * 0^3 - 2 * 0^2]
S = (1/3) * 64 - 2 * 16 - 0
S = 64/3 - 32
S = 64/3 - 96/3
S = -32/3
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х – х^2 и у = 2х, равна -32/3 или приблизительно -10.67 квадратных единиц.
Важно знать, что данная площадь отрицательна, потому что в данном случае парабола находится выше прямой и интересующая нас фигура находится под осью х. Это значит, что площадь считается с отрицательным знаком.
Это подробное пошаговое решение должно помочь школьнику понять, как найти площадь фигуры, ограниченной данными функциями.