Question

53.5. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения вероятностей (табл. 38, 39): найдите математическое ожидание случайной величины
1.Z=X+Y
2.Z=2X+3Y
3.Z=X×Y

​

Answer 1

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для вычисления математического ожидания случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины Z можно найти по следующей формуле:
E(Z) = E(X)+E(Y)

Для первого выражения Z=X+Y:
E(Z) = E(X)+E(Y)

Посмотрим на таблицу 38, чтобы найти значения E(X) и E(Y):
Таблица 38:
X: -1 0 1
P(X): 1/3 1/3 1/3

Для нахождения E(X), умножим каждое значение X на соответствующую вероятность и сложим результат:
E(X) = (-1)·(1/3) + (0)·(1/3) + (1)·(1/3) = -1/3 + 0 + 1/3 = 0

Аналогично, найдем E(Y) используя таблицу 39:
Таблица 39:
Y: -2 2
P(Y): 1/2 1/2

E(Y) = (-2)·(1/2) + (2)·(1/2) = -1 + 1 = 0

Теперь мы можем вычислить E(Z):
E(Z) = E(X) + E(Y) = 0 + 0 = 0

Для второго выражения Z=2X+3Y:
E(Z) = E(2X+3Y)

В данном случае, мы можем использовать свойство линейности математического ожидания. Мы выносим коэффициенты 2 и 3 за знак математического ожидания:
E(Z) = 2·E(X) + 3·E(Y)

Используя значения E(X) и E(Y) из предыдущего расчета, мы можем подставить их в формулу:
E(Z) = 2·0 + 3·0 = 0

Для третьего выражения Z=X×Y:
E(Z) = E(X×Y)

В данном случае, нам необходимо использовать формулу для вычисления математического ожидания произведения независимых случайных величин:
E(Z) = E(X)·E(Y)

Мы уже вычислили значения E(X) и E(Y) ранее:
E(Z) = 0·0 = 0

Итак, ответы на заданные вопросы:
1. Математическое ожидание случайной величины Z при Z=X+Y равно 0.
2. Математическое ожидание случайной величины Z при Z=2X+3Y также равно 0.
3. Математическое ожидание случайной величины Z при Z=X×Y также равно 0.