Если мы хотим определить, являются ли события M и N независимыми, нам нужно проверить выполнение двух условий:
1. Вероятность события M не зависит от того, произошло ли событие N или нет.
2. Вероятность события N не зависит от того, произошло ли событие M или нет.
Давайте посмотрим на каждое из этих условий и выполним расчеты:
1. Вероятность события M: "На первой кости выпало 2 или 3 очка"
Для этого мы должны посчитать вероятность P(M), то есть вероятность того, что на первой кости выпадет 2 или 3 очка.
На игральной кости всего 6 граней, поэтому общее количество возможных исходов равно 6.
Теперь предположим, что каждый исход равновероятен (что, как правило, является разумным предположением для симметричной игральной кости). Значит, вероятность каждого конкретного исхода равна 1/6.
Теперь посчитаем количество исходов, которые соответствуют условию M ("На первой кости выпало 2 или 3 очка"). Если мы выпишем все возможные исходы, то обнаружим, что 2 и 3 соответствуют нашему условию. Значит, количество исходов, соответствующих условию M, равно 2.
Вероятность события M равна отношению количества исходов, соответствующих условию M, к общему количеству возможных исходов:
P(M) = количество исходов, соответствующих условию M / общее количество возможных исходов
P(M) = 2 / 6 = 1/3
2. Вероятность события N: "Сумма выпавших очков не больше семи"
Для этого мы должны посчитать вероятность P(N), то есть вероятность того, что сумма выпавших очков на двух костях не будет больше семи.
Теперь давайте проанализируем все возможные комбинации, которые дают нам сумму не больше семи:
1+1 = 2
1+2 = 3
1+3 = 4
2+1 = 3
2+2 = 4
2+3 = 5
3+1 = 4
3+2 = 5
3+3 = 6
4+1 = 5
4+2 = 6
5+1 = 6
Мы видим, что есть 12 комбинаций, которые соответствуют нашему условию N.
Теперь посчитаем вероятность события N, используя те же принципы, что и раньше:
P(N) = количество исходов, соответствующих условию N / общее количество возможных исходов
P(N) = 12 / 36 = 1/3
Теперь давайте проверим выполнение условий независимости:
1. Вероятность события М не зависит от того, произошло ли событие N или нет:
Мы видим, что P(M) = 1/3. Предположим, что событие N уже произошло (сумма выпавших очков не больше семи). Это не должно изменить вероятность события M. Давайте проверим это:
Если сумма выпавших очков не больше семи, то это означает, что выпали следующие комбинации:
1+1, 1+2, 1+3, 2+1, 2+2, 2+3, 3+1, 3+2 и 3+3. Проверим, сколько из них удовлетворяют условию M (на первой кости выпало 2 или 3 очка):
1+2, 1+3, 2+1 и 3+2.
Из этих 9 комбинаций, 4 удовлетворяют условию M.
Вероятность события M при условии N (обозначим ее P(M|N)) будет равна отношению количества исходов, которые соответствуют и условию M, и условию N, к количеству исходов, которые соответствуют условию N:
P(M|N) = количество исходов, соответствующих и условию M, и условию N / количество исходов, соответствующих условию N
P(M|N) = 4 / 9
Из условия независимости следует, что P(M|N) = P(M). Давайте проверим это:
P(M|N) = P(M)
4/9 = 1/3
Как видите, равенство не выполняется. Значит, вероятность события M зависит от того, произошло ли событие N или нет.
2. Вероятность события N не зависит от того, произошло ли событие M или нет:
Мы видим, что P(N) = 1/3. Предположим, что событие M уже произошло (на первой кости выпало 2 или 3 очка). Это не должно изменить вероятность события N. Давайте проверим это:
Если на первой кости выпало 2 или 3 очка, то это означает, что выпали следующие комбинации:
1+2, 1+3, 2+1 и 3+2. Проверим, сколько из них удовлетворяют условию N (сумма выпавших очков не больше семи):
1+2, 1+3, 2+1 и 2+2.
Из этих 4 комбинаций, 4 удовлетворяют условию N.
Вероятность события N при условии M (обозначим ее P(N|M)) будет равна отношению количества исходов, которые соответствуют и условию N, и условию M, к количеству исходов, которые соответствуют условию M:
P(N|M) = количество исходов, соответствующих и условию N, и условию M / количество исходов, соответствующих условию M
P(N|M) = 4 / 4 = 1
Из условия независимости следует, что P(N|M) = P(N). Давайте проверим это:
P(N|M) = P(N)
1 = 1/3
Как видите, равенство не выполняется. Значит, вероятность события N зависит от того, произошло ли событие M или нет.
Таким образом, наше исходное предположение о независимости событий М и N было неверным. События М и N являются зависимыми.
1. Вероятность события M не зависит от того, произошло ли событие N или нет.
2. Вероятность события N не зависит от того, произошло ли событие M или нет.
Давайте посмотрим на каждое из этих условий и выполним расчеты:
1. Вероятность события M: "На первой кости выпало 2 или 3 очка"
Для этого мы должны посчитать вероятность P(M), то есть вероятность того, что на первой кости выпадет 2 или 3 очка.
На игральной кости всего 6 граней, поэтому общее количество возможных исходов равно 6.
Теперь предположим, что каждый исход равновероятен (что, как правило, является разумным предположением для симметричной игральной кости). Значит, вероятность каждого конкретного исхода равна 1/6.
Теперь посчитаем количество исходов, которые соответствуют условию M ("На первой кости выпало 2 или 3 очка"). Если мы выпишем все возможные исходы, то обнаружим, что 2 и 3 соответствуют нашему условию. Значит, количество исходов, соответствующих условию M, равно 2.
Вероятность события M равна отношению количества исходов, соответствующих условию M, к общему количеству возможных исходов:
P(M) = количество исходов, соответствующих условию M / общее количество возможных исходов
P(M) = 2 / 6 = 1/3
2. Вероятность события N: "Сумма выпавших очков не больше семи"
Для этого мы должны посчитать вероятность P(N), то есть вероятность того, что сумма выпавших очков на двух костях не будет больше семи.
Теперь давайте проанализируем все возможные комбинации, которые дают нам сумму не больше семи:
1+1 = 2
1+2 = 3
1+3 = 4
2+1 = 3
2+2 = 4
2+3 = 5
3+1 = 4
3+2 = 5
3+3 = 6
4+1 = 5
4+2 = 6
5+1 = 6
Мы видим, что есть 12 комбинаций, которые соответствуют нашему условию N.
Теперь посчитаем вероятность события N, используя те же принципы, что и раньше:
P(N) = количество исходов, соответствующих условию N / общее количество возможных исходов
P(N) = 12 / 36 = 1/3
Теперь давайте проверим выполнение условий независимости:
1. Вероятность события М не зависит от того, произошло ли событие N или нет:
Мы видим, что P(M) = 1/3. Предположим, что событие N уже произошло (сумма выпавших очков не больше семи). Это не должно изменить вероятность события M. Давайте проверим это:
Если сумма выпавших очков не больше семи, то это означает, что выпали следующие комбинации:
1+1, 1+2, 1+3, 2+1, 2+2, 2+3, 3+1, 3+2 и 3+3. Проверим, сколько из них удовлетворяют условию M (на первой кости выпало 2 или 3 очка):
1+2, 1+3, 2+1 и 3+2.
Из этих 9 комбинаций, 4 удовлетворяют условию M.
Вероятность события M при условии N (обозначим ее P(M|N)) будет равна отношению количества исходов, которые соответствуют и условию M, и условию N, к количеству исходов, которые соответствуют условию N:
P(M|N) = количество исходов, соответствующих и условию M, и условию N / количество исходов, соответствующих условию N
P(M|N) = 4 / 9
Из условия независимости следует, что P(M|N) = P(M). Давайте проверим это:
P(M|N) = P(M)
4/9 = 1/3
Как видите, равенство не выполняется. Значит, вероятность события M зависит от того, произошло ли событие N или нет.
2. Вероятность события N не зависит от того, произошло ли событие M или нет:
Мы видим, что P(N) = 1/3. Предположим, что событие M уже произошло (на первой кости выпало 2 или 3 очка). Это не должно изменить вероятность события N. Давайте проверим это:
Если на первой кости выпало 2 или 3 очка, то это означает, что выпали следующие комбинации:
1+2, 1+3, 2+1 и 3+2. Проверим, сколько из них удовлетворяют условию N (сумма выпавших очков не больше семи):
1+2, 1+3, 2+1 и 2+2.
Из этих 4 комбинаций, 4 удовлетворяют условию N.
Вероятность события N при условии M (обозначим ее P(N|M)) будет равна отношению количества исходов, которые соответствуют и условию N, и условию M, к количеству исходов, которые соответствуют условию M:
P(N|M) = количество исходов, соответствующих и условию N, и условию M / количество исходов, соответствующих условию M
P(N|M) = 4 / 4 = 1
Из условия независимости следует, что P(N|M) = P(N). Давайте проверим это:
P(N|M) = P(N)
1 = 1/3
Как видите, равенство не выполняется. Значит, вероятность события N зависит от того, произошло ли событие M или нет.
Таким образом, наше исходное предположение о независимости событий М и N было неверным. События М и N являются зависимыми.