k∈Z | sin x |≤1, значит k=-1 или k=1 sin x =1, x=π/2+2πn. n∈Z sin x =-1, x= -π/2 + 2πm, m∈Z
2) π·cosx=πk, k∈Z cosx=k, k∈Z Функция у=cos x ограничена, | cos x |≤1 при k=-1 cos x =-1, x = π+2πn, n∈Z при k=1 cos x=1, x = 2πm, m∈Z при k=0 cos x=0, x = π/2+πl, l∈Z 3) В силу ограниченности функций косинус и синус: -1≤cos2 x≤1 -2≤ 2cos 2x≤2 (1)
-1≤sin5x≤1 -1≤-sin5x≤1 (2)
Сложим (1) и (2) -3≤2 cos 2x-sin5x≤3
Значит равенство -3 возможно лишь при
k,n∈Z
k,n∈Z
ответ. х=π/2+πk, k∈Z
4) cos²x+sin²x=1 Возведём обе части в квадрат: cos⁴ х+ 2 cos²x sin²x + sin ⁴x=1, cos⁴x+sin⁴x=1-2cos²xsin²x Данное уравнение примет вид: 1-2 sin²x cos²x=|sinx cos x| Введём новую переменную: | sin x cos x |= t, t>0 1-2t²-t=0 или 2t²+t-1=0 D=b²-4ac=1-4·2(-1)=9=3² t₁=(-1-3)/4=-1 (не удовлетворяет условию t>0) t₂=(-1+3)/4=1/2 |sinx cosx|=1/2 или | sin 2x |=1 а) sin2x=1 2x=π/2+2πk, k∈Z ⇒ x=π/4+πk, k∈Z или б) sin 2x =-1 2x=-π/2 +2πm, m∈Z ⇒ x=-π/4 +πm, m∈Z ответ x=π/4+πk, x=-π/4 +πm, k, m ∈Z
1) х² - 8х + 15 ≥ 0
Решаем уравнение
х² - 8х + 15 = 0
D = 8² - 4 · 15 = 4 = 2²
x₁ = 0.5(8 - 2) = 3
x₂ = 0.5( 8 + 2) = 5
Значения функции у = х² - 8х + 15 не отрицательны при х≤ х₁ и х≥ х₂
Неравенство имеет решение при х ∈ (-∞; 3] ∪ [5; +∞)
2) х² - 6х + 9 < 0
Преобразуем левую часть неравенства
(х - 3)² < 0
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому неравенство не имеет решений.
3) х² - 4х + 20 ≤ 0
Решаем уравнение
х² - 4х + 20 = 0
D = 4² - 4 · 20 = -64
Уравнение решений не имеет. Поэтому все значения функции у = х² - 4х + 20 положительны, и неравенство не имеет решений.
4) -х² + 7х - 12 < 0
Решаем уравнение
-х² + 7х - 12 = 0
D = 7² - 4 · 12 = 1
x₁ = -0.5(-7 + 1) = 3
x₂ = -0.5(-7 - 1) = 4
Значения функции у = -х² + 7х - 12 отрицательны при х > х₁ и х < х₂
Неравенство имеет решение при х ∈ (3; 4)