Нужно нарисовать рисунок пусть A1A2A3...An правильный n-угольник O - центр вписанной окружности B - точка касания стороны A1A2 и вписанной окружности, это будет середина A1A2 угол A1OA2 = A2OA3 = ...= AnOA1 сумма этих углов равна полному углу в 360° поэтому каждый из этих углов равен 360°/n угол A1OB в два раза меньше чем A1OA2 поэтому A1OB = 180°/n из треугольника A1OB tg(A1OB)=A1B/OB тогда OB=A1B/tg(A1OB) A1B=A1A2/2 = a/2, где a - сторона OB это и есть радиус вписанной окружности r=OB=(a/2) / tg (180°/n) = a/2 * ctg(180°/n)
1)Все жители не могут быть лгунами, иначе каждый из них сказал бы правду(противоречит условию).
2)Возьмем случайного рыцаря. Из утверждения вытекает, что лжецов на острове больше, чем (2015−1)\2=1007, то есть не менее 1007 лжецов.
3)Возьмем случайного лжеца. Его заявление ложно,т.к. кроме него не более половины жителей острова — лжецы. получается, что кроме него на острове не более 2014\2=1007 лжецов (то есть не более 1007), т.е. вместе с ним лжецов не более 1007.
4)из 2) и 3) следует, что: единственный вариант - это когда на острове ровно 1007 лжецов.
пусть A1A2A3...An правильный n-угольник
O - центр вписанной окружности
B - точка касания стороны A1A2 и вписанной окружности, это будет середина A1A2
угол A1OA2 = A2OA3 = ...= AnOA1
сумма этих углов равна полному углу в 360°
поэтому каждый из этих углов равен 360°/n
угол A1OB в два раза меньше чем A1OA2 поэтому
A1OB = 180°/n
из треугольника A1OB
tg(A1OB)=A1B/OB
тогда OB=A1B/tg(A1OB)
A1B=A1A2/2 = a/2, где a - сторона
OB это и есть радиус вписанной окружности
r=OB=(a/2) / tg (180°/n) = a/2 * ctg(180°/n)