Question

А)Общее дифферциальное уравнение у''-4у'+8у=0 Б)частное решение дифферциального уравнения пункта (а), учитывая следующие условия: у(0)=0 и у'(0)=2

Answer 1

а

$y'' - 4y' + 8y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} - 4k + 8 = 0 \\ D = 16 - 32 = - 16 \\ k_1 = \frac{4 + \sqrt{ - 16} }{2} = \frac{4 + 4i}{2} = 2 + 2 i \\ k_2 = 2 - 2i \\ \\ y = {e}^{2x} (C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x) )$

общее решение

б

$y(0) = 0,y'(0) = 2$

$y' = 2 {e}^{2x} (C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x) ) + {e}^{2x} (2C_1 \cos(2x) - 2C_2 \sin(2x)) = \\ = {e}^{2x} ((2C_1 - 2C_2) \sin(2x) + (2C_1 + 2C_2) \cos(2x))$

$\left \{ {{C_2 = 0} \atop {2C_1 + 2C_2 =2 } } \right. \\ \\ \left \{ {{C_2 = 0} \atop {C_1 = 1 - C_2 = 1} } \right.$

Частное решение:

$y = {e}^{2x} \sin(2x)$