Для поиска наибольшего значения функции y = x^3 + 3x^2 - 9x - 7 на отрезке [-5; 0], мы сначала найдём критические точки функции, то есть точки, где производная функции равна нулю или не определена. Затем мы проверим значения функции в этих точках, а также на концах отрезка [-5; 0], чтобы найти наибольшее значение.
Шаг 1: Найдём производную функции y = x^3 + 3x^2 - 9x - 7:
y' = 3x^2 + 6x - 9.
Шаг 2: Решим уравнение y' = 0 для поиска критических точек функции:
3x^2 + 6x - 9 = 0.
Можно разложить это уравнение на множители или использовать квадратное уравнение. Найдя корни этого уравнения, мы найдём значения x, где производная равна нулю или не определена. Решим данное уравнение:
3x^2 + 6x - 9 = 0.
Делаем замену: x^2 + 2x - 3 = 0.
Теперь разложим на множители: (x + 3)(x - 1) = 0.
Получаем два значения x: x = -3 и x = 1.
Шаг 3: Проверим значения функции в найденных критических точках, а также на концах отрезка [-5; 0].
Подставим x = -5 в функцию y = x^3 + 3x^2 - 9x - 7:
y = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 9(-5) - 7 = -5 + 3(25) + 45 - 7 = -5 + 75 + 45 - 7 = 108.
Подставим x = -3 в функцию:
y = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 7 = -27 + 3(9) + 27 - 7 = -27 + 27 + 27 - 7 = 20.
Подставим x = 1 в функцию:
y = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 7 = 1 + 3 + 9 - 7 = 6.
Подставим x = 0 в функцию:
y = (0)^3 + 3(0)^2 - 9(0) - 7 = 0 + 0 - 0 - 7 = -7.
Шаг 4: Сравним найденные значения функции и выберем наибольшее значение.
Мы получили следующие значения: y = 108, y = 20, y = 6 и y = -7.
Наибольшее значение функции получается при x = -5 и равно 108.
Таким образом, наибольшее значение функции y = x^3 + 3x^2 - 9x - 7 на отрезке [-5; 0] равно 108.
