Question

Найти неопределённые интегралы

Answer 1

$1)\ \ \int e^{arctg2x}\cdot \dfrac{dx}{1+4x^2}=\Big[\ t=arctg2x\ ,\ dt=\dfrac{2\, dx}{1+4x^2}\ \Big]=\dfrac{1}{2}\int e^{t}\, dt=\\\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot e^{t}+C=\dfrac{1}{2}\cdot e^{arctg2x}+C$

$2)\ \ \int x^3\cdot lnx\, dx=\Big[\ u=lnx\ ,\ du=\dfrac{dx}{x}\ ,\ dv=x^3\, dx\ ,\ v=\dfrac{x^4}{4}\ \Big]=\\\\\\=uv-\int v\, du=\dfrac{x^4}{4}\cdot lnx-\dfrac{1}{4}\int x^3\, dx=\dfrac{x^4}{4}\cdot lnx-\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{x^4}{4}+C=\\\\\\=\dfrac{x^4}{4}\cdot lnx-\dfrac{x^4}{16}+C$