Question

Найдите область определения функции.​

Answer 1

Нужно взять во внимание два условия.

(1) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

(2) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Учитывая их, записываем следующую систему.

$\begin{equation}\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{-x^2+6x-8} \geqslant 0\\\\-x^2+6x-8\neq 0\end{cases}$

Для начала решим отдельно верхнее неравенство системы. Его можно решить методом интервалов, предварительно разложив на множители числитель и знаменатель.

$\dfrac{x^2-9}{-x^2+6x-8} \geqslant 0\\\\\\\dfrac{(x-3)(x+3)}{-x^2+6x-8}\geqslant 0$

Числитель мы разложили по формуле сокращённого умножения (разность квадратов). Для разложения знаменателя понадобится найти корни следующего уравнения:

$-x^2+6x - 8 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = 36 - 32 = 4\\\\x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-6+2}{-2} = \dfrac{-4}{-2} = 2\\\\\\x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-6-2}{-2} = \dfrac{-8}{-2} = 4$

Используя следующую формулу: $ax^2 + bx + c = a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ , где $x_1$ и $x_2$ - корни уравнения $ax^2+bx+c = 0$, получаем: $-x^2 + 6x - 8 = -(x - 2)(x-4) = (2-x)(x-4)$ , здесь минус я занесла в первую скобку. Возвращаемся к неравенству.

$\dfrac{(x-3)(x+3)}{(2-x)(x-4)} \geqslant 0$

Решим данное неравенство методом интервалов.

Нули числителя: -3; 3.

Нули знаменателя: 2; 4.

         -                   +                    -                    +                     -

-----------------$\bullet$-----------------о-----------------$\bullet$-----------------о-----------------> x

                 $-3$                   $2$                    $3$                    $4$

Так как знак в последней строке неравенства "больше или равно", то подходят те промежутки, где стоит знак "плюс". В нашем случае: $\boxed{\bf{x\in\left[-3;\ 2\right)\cup\left[3;\ 4\right)}}$ .

Решением нижнего выражения являются $x\neq 2$ и $x\neq 4$. В решении неравенства выше эти два значения и так выколоты (стоят круглые скобки), поэтому область определения таковой и остаётся.

ответ: $\left[-3;\ 2\right)\cup\left[3;\ 4\right)$ .